CHRISTIANI HUGENII LIBELLUS DE RATIOCINIIS IN LUDO ALEAE | ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС О РАСЧЕТАХ В АЗАРТНОЙ ИГРЕ | |||
OR,
The VALUE of all CHANCES IN Games of Fortune; CARDS, DICE, WAGERS, LOTTERIES, &c. Mathematically Demonstrated. | ИЛИ рассмотренная математически СТОИМОСТЬ ВСЕХ ШАНСОВ при азартных играх в КАРТЫ, КОСТИ, при заключении ПАРИ, при участии в ЛОТЕРЕЕ и т.д. | |||
LONDON:
Printed by S. KEIMER for T.WOODWARD, near the Inner-Temple-Gate in Fleetstreet. 1714. |
Стоимость шансов Хотя в играх, полностью зависящих от удачи, успех всегда не определен, тем не менее можно точно определить насколько вероятнее кто-нибудь выиграет, чем проиграет. Например, если кто-либо делает ставку на то, что он, бросая одну кость, выбросит шесть очков первым броском, то неизвестно выиграет он или проиграет, но насколько вероятность проигрыша больше чем вероятность выигрыша легко определить и легко посчитать. Подобным же образом, если я согласился с кем-либо разыграть некоторую ставку на том условии, что получить ее должен тот, кто первым три раза победит в некоторой игре1), и я один раз победил, то еще неизвестно, кто из нас одержит третью победу первым; однако стоимость моего ожидания выигрыша и стоимость ожидания выигрыша моего противника может быть точно определена; и, следовательно, если мы не захотим продолжать розыгрыш и оставим его неоконченным, то можно определить каким образом нам разделить ставку. Если же кто-либо пожелает купить мое место в игре, а значит купить мои шансы на выигрыш, то можно определить сколько он по справедливости должен заплатить за мои шансы. Отсюда видно, какое бесконечное множество вопросов может возникнуть между двумя, тремя, четырьмя или более игроками. Поскольку получение ответов на эти вопросы не является задачей тривиальной или бесполезной, то я покажу методы получения этих ответов, а затем, используя эти методы, я покажу как посчитать стоимость шансов при игре в кости. ПОСТУЛАТ
В качестве основания для следущего предложения я положу ту самоочевидную истину, что Любой шанс или ожидание выигрыша какой-либо вещи стоит столько, сколько следует внести за этот шанс или ожидание в качестве справедливой ставки. Например, если кто-либо спрячет 3 шиллинга в одной руке и 7 в другой и, не говоря мне какая сумма в какой руке, предложит мне выбрать, то, я считаю, это будет то же самое как если бы он предложил мне 5 шиллингов; потому что 5 шиллингами, как справедливой ставкой, я мог бы обеспечить равные шансы выиграть 3 или 7 шиллингов. ПРЕДЛОЖЕНИЕ I
Если я могу с равными шансами выиграть a или b, то мое ожидание Чтобы увидеть как это правило получается из постулата, а также для доказательства, я, полагая что стоимость моего ожидания есть x, должен с помощью справедливой ставки размером x обеспечить это ожидание. Предположим, что я играю с кем-либо с условием, что мы оба (и я, и мой противник) ставим по x, шансы на выигрыш у нас равны2), а тот из нас, кто выигрывает, забирает себе всю ставку, т.е. 2x, и выплачивает проигравшему a. Ясно, что игра справедлива и что при таком условии я имею равные шансы получить a, если я проигрываю, или получить Доказать, что стоимость именно такова очень легко. Поскольку, поставив На примере конкретных чисел. Если я имею равные шансы получить 3 или 7, то, по только что доказанному предложению, мое ожидание стоит 5 и я могу с помощью 5 обеспечить это ожидание, т.к. если мы вдвоем с кем-либо поставим по 5, при условии что выигравший выплачивает проигравшему 3, то ставка будет справедлива и при этом условии я имею равные шансы получить 3 если я проиграю, или получить 7, если я выиграю; ибо в последнем случае я получу 10, из которых я должен буду 3 выплатить проигравшему. Q.E.D. ПРЕДЛОЖЕНИЕ II
Если я ожидаю a, b или c, и каждое из них в равной вероятностью выпадает на мою долю, то мое ожидание Чтобы вычислить стоимость ожидания я снова полагаю, что стоимость моего ожидания есть x. Тогда, имея это x, я должен быть в состоянии, при справедливой игре, обеспечить это ожидание. Предположим, что я играю против двух игроков на тех условиях, что: каждый из нас ставит на кон x; с одним из игроков я договариваюсь, что если один из нас выигрывает,то он забирает все ставки, а проигравшему выплачивает b; с другим игроком я договариваюсь, что если один из нас выигрывает, то он забирает все ставки, а проигравший получает c. Кажется очевидным, что условия игры справедливы и что при этих условиях я имею равные шансы получить b, если выиграет второй игрок, или получить c, если выиграет третий игрок, или же получить Рассуждая аналогично, найдем, что при равных шансах получить a, b, c или d, ожидание будет ПРЕДЛОЖЕНИЕ III
Пусть число шансов, при которых я должен получить a есть p, число шансов, при которых я должен получить b есть q, и пусть все эти шансы равны. Тогда мое ожидание будет
Чтобы понять как получается это правило, я снова положу стоимость моего ожидания равной x и эта стоимость должна обеспечить мое ожидание при справедливой игре. Пусть у меня есть множество игроков, число которых, вместе со мной, равно На примере конкретных чисел. Если я имею 3 шанса получить 13 и 2 шанса получить 8, то стоимость моего ожидания по этому правилу будет равна 11. И легко видеть, что со ставкой 11 как раз и получаются такие шансы. Действительно, пусть я играю против четырех игроков и каждый из нас ставит по 11; далее, с двумя из них я договариваюсь, что если кто-либо из них выиграет, то он платит мне 8, если же я выигрываю, то я плачу ему 8; с двумя другими я также договариваюсь, что если кто-либо из них выигрывает, то он выплачивает мне 13, если же я выигрываю, то я плачу ему 13. Очевидно, что игра справедлива и что у меня есть 2 шанса получить 8, если выиграет кто-либо из первых двух, и 3 шанса получить 13, если выиграет кто-либо из двух последних либо я сам выиграю, ибо тогда я заберу всю ставку, т.е. 55, из которой должен буду выплатить по 13 двум последним и по 8 двум другим, после чего у меня останется 13. Q.E.D. ПРЕДЛОЖЕНИЕ IV
Перейдем к вопросу о том, как разделить ставку, если шансы игроков не равны. Лучше всего начать с простейших случаев следующего вида. Допустим, что я с кем-либо разыгрываю ставку на том условии, что тот из нас, кто три раза победит5), забирает всю ставку. Допустим, что я два раза победил, а противник только один раз. Я хочу знать: если мы согласимся прервать игру и разделить ставку, то сколько должно прийтись на мою долю? Во-первых, мы должны рассмотреть число побед еще остающихся до необходимых каждой стороне для выигрыша; поскольку ясно, что если мы, допустим, договорились что ставку забирает тот, кто первым двадцать раз победит, и я победил девятнадцать раз, а мой противник только восемнадцать, то мои шансы лучше шансов моего противника настолько же, насколько и в случае, когда я победил в двух случаях из трех необходимых, а мой противник в одном случае из трех необходимых для того, чтобы забрать ставку. Кроме того, чтобы выяснить как разделить ставку, нам следует рассмотреть, чтó произойдет при разных вариантах развития игры. Ибо ясно, что если я побеждаю, то число моих побед становится достаточным и я забираю ставку, допустим она равна a. Но если мой противник побеждает, то наши шансы уравниваются, поскольку после этого каждому из нас остается одна победа до выигрыша, и наши шансы будут стоить a/2. Но ясно, что я имею равные шансы победить или не победить в следующей попытке и, стало быть, имею равные шансы получить a или a/2 и значит, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ I, мои шансы стоят половину их суммы, т.е. 3a/4. Q.E.I. Доля моего противника, которая конечно должна быть равна оставшимся a/4, может быть найдена подобными же рассуждениями. Отсюда ясно, что тот, кто пожелает играть вместо меня, должен заплатить мне 3a/4 за мои шансы. И, следовательно, если игра идет на условии, что одному для выигрыша достаточно 1 победы, а другому 2 победы, то ставки их должны относиться как 3 к 1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ V
Допустим, что мне нужна одна победа для выигрыша, а моему противнику три. Как следует разделить ставку? Давайте опять рассмотрим, чтó произойдет при разных вариантах развития игры: если я побеждаю, то я забираю всю ставку, допустим a; если же побеждает противник, то ему необходимы еще две победы, а мне одна, следовательно мы попадаем в условия ПРЕДЛОЖЕНИЯ IV и, как там показано, мое ожидание стоит 3a/4. Следовательно, так как я имею равные шансы получить a или 3a/4, то мое ожидание, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ I, стоит 7a/8, а ожидание моего противника – оставшиеся a/8. Таким образом, мои шансы относятся к шансам моего противника как 7 к 1. Q.E.I. И так же, как решение предыдущего случая используется при решении последнего, так же и решение последнего случая может быть использовано для решения следующего, в котором предполагается, что мне требуется одна победа, а моему противнику – четыре. Моя доля может быть сходным образом найдена равной 15a/16, а доля моего ПРЕДЛОЖЕНИЕ VI
Допустим, что мне требуется две победы для выигрыша ставки, а моему противнику – три. Следовательно, после следующего розыгрыша мне может понадобиться еще одна победа, а противнику – три; или же нам обоим будет требоваться для выигрыша по две победы. Но у меня есть равные шансы победить или не победить в следующей игре и, следовательно, получить 7a/8 или a/2 и, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ I, мое ожидание будет стоить 11a/16. Так что одиннадцать долей ставки должны прийтись на мою долю и пять – на долю моего противника. Q.E.I. ПРЕДЛОЖЕНИЕ VII
Допустим, что мне требуется две победы для выигрыша, а моему противнику – четыре. Следовательно, если удача в следующем розыгрыше будет на моей стороне, то мне понадобится еще одна победа, а моему противнику – четыре; если же я проигрываю, то мне понадобится две победы, а противнику – три. Так что, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ V и по ПРЕДЛОЖЕНИЮ VI, я имею равные шансы на 15a/16 или на 11a/16 и мои шансы, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ I, будут стоить 13a/16. Q.E.I. СЛЕДСТВИЕ
Из последних предложений следует, что тот, кому требуется две победы чтобы забрать ставку, тогда как его противнику требуется четыре, имеет лучшие шансы, чем тот, кому требуется одна победа, тогда как его противнику требуется две. Ибо в последнем случае, а именно в случае одной победы против двух, доля составляет, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ IV, 3a/4, что меньше, чем 13a/16. ПРЕДЛОЖЕНИЕ VIII
Допустим, что есть три игрока и первому и второму для выигрыша требуется по одной победе, а третьему – две. Чтобы найти долю первого игрока мы должны рассмотреть, чтó он получит если он или кто-либо из двух других игроков победит в следующей игре. Если он победит, то он забирает всю ставку, т.е. a; если побеждает второй то он, потому что второму тоже требуется только одна победа, забирает всю ставку, а первый получает 0; если же побеждает третий игрок, тогда всем требуется для выигрыша по одной победе и, следовательно, доля каждого игрока будет a/3. Следовательно, поскольку вероятности победить в следующей игре для всех игроков равны, первый игрок имеет равные шансы получить a, 0 или a/3 и его доля будет стоить 4a/9. Стоимость доли второго игрока также будет равна 4a/9 и a/9 останется на долю третьего игрока и эта доля может быть найдена такими же рассуждениями, как и доли первых двух игроков. ПРЕДЛОЖЕНИЕ IX
Чтобы найти каковы доли произвольного количества игроков, некоторым из которых нужно больше побед, а некоторым меньше, мы должны рассмотреть, чтó получит игрок, долю которого мы хотим найти, если он или кто-либо из остальных игроков победит в следующей игре; затем сложить все то, что он может получить в каждом возможном случае и разделить эту сумму на число игроков; полученное частное и будет искомой долей.
Допустим, например, что есть три игрока – A, B и C; игроку A требуется одна победа чтобы забрать ставку, а игрокам B и C по две победы каждому. Я хочу найти долю ставки q, которая следует игроку B. Прежде всего нам следует посмотреть что будет причитаться B, если он или A или C победят в следующей игре. Если побеждает A, то он забирает ставку и, следовательно, B получает 0. Если сам B побеждает, то ему и игроку A требуется еще по одной победе каждому, а игроку C требуется две победы и, следовательно, игроку B причитается 4q/9. Если побеждает C, тогда A и C требуется по две победы и, следовательно, игроку B, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ VIII, будет причитаться q/9. Складывая доли, получаемые при этих возможностях (доли эти равны 0, 4q/9 и q/9), получим 5q/9; деля эту сумму на число игроков, т.е. на 3, получаем 5q/27, долю игрока B. Доказательство легко вытекает из ПРЕДЛОЖЕНИЯ II. Поскольку игрок B имеет равные шансы получить 0, 4q/9 или q/9, то его ожидание, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ II, стоит Но для того, чтобы найти что может получить какой-либо игрок в каждом конкретном случае, мы, прежде чем предполагать, чтó он может получить при различных вариантах развития игры, должны предварительно исследовать более простые случаи, которые будут промежуточными в наших рассуждениях. Ибо, так же как и в только что проведенном рассуждении мы не могли обойтись без случая |
ТАБЛИЦА для трех игроков | ||||||||||||||||||||||||||||
Требуется игр доли ставки |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||
Требуется игр доли ставки |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||
Требуется игр доли ставки |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Требуется игр доли ставки |
|
| ||||||||||||||||||||||||||
Что касается игры в кости, существуют вопросы о том, сколькими способами можно выкинуть 6 или любое другое количество очков одной костью, или две шестерки двумя костями, или три шестерки тремя костями и т.д. Для разрешения этих вопросов нам, во-первых, следует заметить, что одна кость может выпасть шестью различными способами, причем все эти способы равновозможны. Для двух костей существует 36 вариантов, которые могут выпасть с равной вероятностью, потому что одна кость может выпасть шестью способами, каждый из которых может осуществиться вместе с каждым из шести способов, которым может выпасть вторая кость; число всех способов, которыми могут выпасть две кости, будет равно произведению шести на Далее следует заметить, что для двух костей существует только один способ, которым может выпасть 2 очка, также один способ, которым может выпасть 12 очков и два способа, которыми могут выпасть 3 или 11 очков, ибо, если мы обозначим кости буквами A и B, то ясно что 3 очка могут выпасть если на кости A выпадет 1 очко, а на B – 2; или, наоборот, на A выпадет 2, а на B – 1. Подобным же образом 11 очков может получиться если 5 очков выпадет на кости A и 6 – на B; или, наоборот, 6 выпадет на A и 5 – на B. Четыре очка могут выпасть тремя способами: на A – 1 очко, на B – 3; на A – 2, на B – 2; на A – 3, на B – 1 очко.
V или IX – четырьмя способами, VI или VIII – пятью способами, VII – шестью способами.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ X
При каком количестве бросков игрок может заключить пари, что он выбросит 6, бросая одну кость. Если бы кто-либо поставил на то, что он выбросит 6 первым броском, то ясно, что есть только 1 шанс, что он выиграет ставку и 5 шансов что он проиграет, поскольку пять способов, которыми может упасть кость, – против него и только один способ за то, что он выиграет. Пусть размер ставки – a. Поскольку у него только одна возможность получить a и пять возможностей получить 0, то его шансы, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ II, будут стоить a/6 и, следовательно, его противнику остается 5a/6. Таким образом, для того, кто ставит на то, что он выбросит 6 первым броском, справедливое соотношение ставок должно быть 1 к 5. Тот, кто ставит на то, что он выбросит 6 за два первых броска, может посчитать стоимость своих шансов следующим образом: если он выбрасывает 6 первым броском, то он получает a; если он не выбрасывает 6, то у него остается еще один бросок, который, по предыдущему, стоит a/6. Тогда его шансы, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ III, будут стоить 11a/36. Следовательно, его противнику остается 25a/36. Таким образом, их шансы, или стоимость их ожиданий, относятся как 11 к 25, т.е. меньше чем 1 к 2. Рассуждая далее подобным же образом, может быть найдена стоимость шансов того, кто ставит на то, что он выбросит 6 тремя бросками, эта стоимость получается равной 91a/216, так что ставки должны относиться как 91 к 125, что меньше чем 3 к 4. Тот же, кто ставит на то, что он выбросит 6 четырьмя бросками, имеет шансы стоимостью 671a/1296 и ставки должны относиться как 671 к 625, что несколько больше Для пяти бросков шансы будут стоить 4651a/7776 и справедливые ставки должны относиться как 4651 против 3125, что несколько меньше чем 3 к 2. Для случая шести бросков стоимость шансов будет 31031a/46656, и ставки должны относиться как 31031 к 15625, что несколько меньше чем 2 к 1. Продолжая таким образом, мы можем решить эту задачу для любого числа бросков. Q.E.I. Мы можем, как показано в следующем предложении, воспользоваться более коротким методом расчета шансов, без которого вычисление делается гораздо более нудным. ПРЕДЛОЖЕНИЕ XI
При каком количестве бросков для игрока возможно пари, что он выбросит 12, бросая две кости. Если кто-либо ставит на то, что он, бросая две кости, выбросит 12 очков первым броском (т.е., что у него выпадут две шестерки), то ясно, что он имеет только 1 шанс выиграть, т.е. получить a, и 35 шансов проиграть, т.е. получить 0, поскольку всего кости могут выпасть 36 способами; следовательно, его ожидание, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ III, будет стоить a/36. Пусть кто-либо ставит на то, что он, бросая две кости, выбросит 12 очков за два броска. Тогда если он выбрасывает 12 первым броском, то он получает a; если первый бросок будет неудачен, то у него останется еще один бросок, который, как было только что сказано, стоит a/36. Но есть только 1 шанс выбросить 12 первыми броском и 35 шансов против этого; следовательно у него будет 1 ожидание получить a и 35 шансов получить a/36, тогда его шансы, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ III, будут стоить 71a/1296, а его противнику останется 1225a/1296. Используя эти два случая мы можем найти стоимость шансов того, кто ставит на выпадение 12 очков при четырех бросках, не рассматривая шансы того, кто ставит на выпадение 12 в трех бросках. Ибо тот, кто ставит на выпадение 12 при четырех бросаниях двух костей, может выбросить 12 первым или вторым броском и получить a; если же он не выбрасывает 12 при первых двух бросках, то у него остается еще два броска, которые, как уже выяснено, стоят 71a/1296. По этой же причине и в двух первых бросках есть 71 шанс за то, что выпадет 12 очков и 1225 шансов против. Следовательно, применяя ПРЕДЛОЖЕНИЕ III, получим, что шансы стоят 178991a/1679616; стоимость шансов противника будет равна 1500625a/1679616. Из чего видим, что шансы относятся как 178991 к 1500625. Подобным же образом, без вычисления промежуточных случаев, может быть вычислена стоимость ожидания того, кто ставит на то что выпадет две 6 одновременно при 8 бросках. После чего можно найти стоимость шансов того, кто ставит на одновременное выпадение двух 6 в 16 бросках. После нахождения стоимости ожидания при 8 и 16 бросках можно найти стоимость ожидания при 24 бросках. Поскольку главным является вопрос “при каком количестве бросков пари будет равным?”, то при вычислениях мы можем отбрасывать последние цифры длинных чисел, появляющихся в ходе вычислений, чтобы они не стали чрезмерно длинными. И, действуя таким образом, я нахожу, что тот, кто заключает пари на условии 24 бросков, имеет несколько худшие шансы, чем его противник, а шансы того, кто заключает пари на условии 25 бросков, будут несколько лучше, чем шансы его противника. ПРЕДЛОЖЕНИЕ XII
При каком количестве костей для игрока возможно пари, что он выбросит две 6 первым броском. Это то же самое, как если бы мы пожелали узнать при каком количестве бросков одной кости для игрока возможно пари, что он выбросит две шестерки. Тот, кто заключает пари на условии трех бросков, если он не выбросил 6 первым броском, то у него остается еще два броска, стоимость которых, как и прежде, a/36. Но если при первом броске выпадет 6, то у игрока есть еще два броска, чтобы выбросить одну 6, стоимость этих двух бросков, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ X, будет равна 11a/36. Поскольку ясно, что есть один шанс выбросить шестерку первым броском и пять шансов не выбросить, то: у игрока есть один шанс для 11a/36 и 5 шансов для a/36. По ПРЕДЛОЖЕНИЮ III, шансы игрока будут стоить 16a/216, или 2a/27. Рассуждая таким образом и добавляя по одному броску, мы найдем, что мы можем при 10 бросках одной кости или при одном броске 10 костей ставить на выпадение двух шестерок, причем наши шансы будут несколько лучше шансов противника. ПРЕДЛОЖЕНИЕ XIII
Допустим, я заключаю с кем-либо пари на тех условиях, что: если при броске двух костей выпадет 7 очков, то ставку забираю я; если выпадет 10 очков, то ставку забирает противник; при другой сумме выпавших очков мы делим ставку поровну. Каковы наши доли, соответствующие стоимости наших шансов? Поскольку для двух костей из 36 способов, которыми они могут выпасть, есть только 6, дающих 7 очков, и 3, дающих 10 очков, то остается 27 способов, при которых, если они выпадут, ставка a делится пополам. Но если ни один из этих бросков не произойдет, то у меня есть 6 шансов выиграть a или 3 шанса проиграть, т.е. получить 0, что по ПРЕДЛОЖЕНИЮ III равно 2a/3. Следовательно, с самого начала у меня есть 27 шансов на получение a/2 и 9 шансов на получение 2a/3; значит, мои шансы, по ПРЕДЛОЖЕНИЮ III, стоят 13a/24, а тому, кто играет против меня, остается 11a/24. ПРЕДЛОЖЕНИЕ XIV
Допустим, что мы с противником по очереди подбрасываем две кости (первым бросает противник) и игра идет до победы одного из нас; я побеждаю, если у меня выпало 7 очков, мой противник побеждает, если у него выпало 6 очков. Каково соотношение наших шансов? Пусть ставка равна a, а мои шансы стоят x. Следовательно, шансы противника стоят В качестве заключительного украшения этой работы, мы добавим следующие задачи. ЗАДАЧА I
Пусть A и B играют до победы одного из них, подбрасывая две кости, на следующих условиях: A побеждает, если сумма выброшенных им очков равна 6; B побеждает, если сумма выброшенных им очков равна 7; первый бросок делает A, затем B делает два броска подряд, затем A делает два броска подряд и т.д. Вопрос: Каково отношение их шансов? Отв. Как 10355 к 12276. ЗАДАЧА II
Три игрока A, B и C, взяв 12 шаров, 4 из которых белые, а 8 – черные, играют на следующих условиях: тот из них, кто первым вслепую вытащит белый шар, – выигрывает; A вытаскивает шар первым, B – вторым, C – третьим, затем снова A и далее по очереди. Каково отношение их шансов? ЗАДАЧА III
A бьется об заклад с B, что из колоды в 40 карт, по 10 каждой масти, он вытащит 4 так, что среди них будет по одной каждой масти. Его шансы будут относиться к шансам игрока B как 1000 к 8139. ЗАДАЧА IV
Взяв 12 шаров, 8 черных и 4 белых, A бьется об заклад с B, что он вслепую вытащит 7 из них так, что среди них будет три черных. Вопрос: Каково соотношение шансов этих игроков? ЗАДАЧА V
A и B, каждый имея по 12 монет, играют тремя костями на следующих условиях: если выпадет одиннадцать очков, то A дает B одну монету; если выпадет 14 очков, то B дает A одну монету; побеждает тот, кто выигрывает все монеты у противника. Тогда шансы игрока A относятся к шансам игрока B как 244140625 к 282429536481.
К О Н Е Ц ПРИМЕЧАНИЯ К ПЕРЕВОДУ Перевод сделан с английского перевода, лежащего по адресу: http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf 1) Этот розыгрыш ставки может выглядеть, например, так: мы с противником подбрасываем монету; если выпал герб, то победил я; если выпала цифра, то победил противник; ставку забирает тот, кто первым одержит три победы. назад к тексту 1 назад к тексту 5 2) Слова «шансы на выигрыш у нас равны» вставлены при переводе, и далее это невысказанное обстоятельство используется в выводе. Далее я в текст Гюйгенса не вмешиваюсь, но следует помнить, что основной целью этой работы был справедливый раздел ставок. Может идея справедливости в виде равенства шансов была настолько естественной для читателя 17-го века, что равенство шансов в этом тексте само собой разумеется и даже не оговаривается? А может азартные игры были настолько распространены и игроки обладали таким опытом (пример: кавалер де Мере), что многие вещи были сами собой понятны?... Не знаю. Может быть я чего-то не понимаю.
«... изобретатели азартных игр, интуитивно достаточно ясно представляли себе, что такое вероятность. Если говорить о костях, картах или домино, то есть о наиболее распространенных азартных играх, то они основаны на равенстве некоторых вероятностей. Различные грани кости имеют одинаковую вероятность появиться при бросании кости на горизонтальном столе; различные карты колоды имеют одинаковые шансы попасть к любому из игроков, когда колода хорошо перетасована...»
перевод И.Б. Погребысского, под ред. Б.В. Гнеденко 3) Q.E.I., Quod Erat Inveniendum – что и требовалось найти назад к тексту 3 4) Q.E.D., Quod Erat Demonstrandum – что и требовалось доказать назад к тексту 4 5) См. примечание 1 назад к тексту 5 |