Zur Einfuhrung der transfiniten Zahlen

Einleitung

AA.Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist: den Begriff der Cantorschen Ordnungzahl eindeutig und konkret zu fassen.
AB.Dieser Begriff wird nach Cantors Vorgang gewöhnlich als "Abstraction" einer gemeinsamen Eigenschaft aus gewissen Klassen von Mengen gewonnen¹).Dieses etwas vage Verfahren wollen wir durch ein anderes auf eindeutigen Mengenoperationen beruhendes, ersetzen. Das Verfahren wird in den folgenden Zeilen in der Sprache der naiven Mengenlehre dargestellt werden, es bleibt aber (im Gegensatz zu Cantors Verfahren) auch in einer "formalistischen", axiomatisierten Mengenlehre richtig. So behalten unsere Schlüsse auch im Rahmen der Zermeloschen Axiomatik (wenn man das Fränkelsche Axiom²) hinzufügt) volle Geltung.
AC.Wir wollen eigentlich den Satz: "Jede Ordnungszahl ist der Typus der Menge aller ihr vorangehenden Ordnungszahlen" zur Grundlage unserer Überlegungen machen. Damit aber der vage Begriff "Typus" vermieden werde, in dieser Form: "Jede Ordnungszahl ist die Menge der ihr vorangehenden Ordnungszahlen." Dies ist kein bewiesener Satz über Ordnungszahlen, es wäre vielmehr, wenn die transfinite Induktion schon begründet wäre, ein Definition derselben. Nach ich wird (Ø ist die leere Menge, (a, b, c, ...) die Menge mit den Elementen a, b, c, ...)

0 = Ø
1 = (Ø)
2 = (Ø, (Ø))
3 = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)))
..........................................................
ω = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)), (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))),.....),
ω + 1 = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)),(Ø, (Ø), (Ø, (Ø))), ..... (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)), (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))), .....))
.........................................................
AD.Wir setzen aber natürlich die transfinite Induktion nicht als begründet voraus, vir nehmen vielmehr nur die Begriffe der "wohlgeordneten Menge" und der "Ähnlichkeit" als vorhanden an. Wir werden im übringen streng formalistisch vorgehen, das ... Symbol und ähnliches überall vermeiden.
AE.Unsere Bezeichnungen sind die folgenden: Wenn Ξ, Η Mengen sind, so bedeutet Ξ<Η oder Η>Ξ, dass Ξ eine Teilmenge von Η ist, und Ξ<Η oder Η>Ξ, dass Ξ eine echte Teilmenge von Η ist. Wenn Ξ eine Menge ist, so bedeutet x ε Ξ, dass x ein Element von Ξ ist. —Ø sei die leere Menge, a, (a, b), (a, b, c) die Mengen, deren Elemente a, a und b, bzw. a, b und c sind (так в тексте: a есть множество с одним элементом a, может опечатка? прим. переводчика). wenn x, y Elemente einer geordneten Menge sind, so bedeutet x

y oder y

x, dass bei der gegebenen Ordnung x vor y kommt.
AF. E(x) sei eine Eigenschaft, f(x) eine Function, die für alle x die die Eigenschaft E(x) besitzen, definiert ist. Dann sei

M(f(x);E(x))
die Menge aller f(x), wenn x alle x, die die Eigenschaft E(x) besitzen, durchläuft.³) — Ξ sei eine geordnete Menge, x ein Element von Ξ. Dann nennen wir die Menge

M(y; y ε Ξ, y

aller Elemente y von Ξ, die vor x liegen, den Abschnitt von x in Ξ, und bezeichnen ihn kürzer auch durch A(x,Ξ).

I. Kapitel.

AG.1. Ξ sei eine wohlgeordnete Menge. Vir nennen eine Funktion f(x), die in Ξ definiert ist, eine "Zählung" von Ξ, wenn für alle Elemente x von Ξ

f(x) = M( f(y); y ε A(x,Ξ))

ist. Wenn f(x) eine Zählung von Ξ ist, so nennen wir

M(f(x); y ε Ξ))

eine "Ordnungszahl" von Ξ. Und wenn es überhaupt Zählungen von Ξ gibt, so nennen wir Ξ "zählbar".
AH.Ist x₁, x₂, x₃, x₄ das 1-te, 2-te, 3-te,4-te Element von Ξ, so ist offenbar für jede Zählung f(x) von Ξ

f(x₁ )

f(x₂ )

f(x₃ )

f(x₄ )

folglich ist die Ordnungszahl von Ξ, wenn es 0, 1, 2 oder 3 Elemente hat, bzw.

AI.2.Ξ sei eine wohlgeordnete Menge. Zwei Zählungen f(x), g(x) von Ξ sind stets identisch.
AJ. Denn im entgegengesetztem Falle gäbe es ein erstes x, für welches f(x) ≠ g(x) ist. Für alle y x wäre also f(y) = g(y), also wäre

M(f(y); yε Ξ, y x) = M(g(y); yε Ξ, y x)

und dass heisst eben f(x) = g(x), entgegen der Annahme.
AK.Ein zählbares Ξ hat also eine und nur eine Zählung. Zählung und Ordnungszahl sind also für alle zählbaren Ξ eindeutig festgelegte Begriffe. Wir werden im Folgenden die Ordnungszahl von Ξ mit OZ(Ξ) bezeichnen.
AL.3. Ξ sei zählbar, f(x) die Zählung von Ξ, und x ein Element von Ξ. Dann ist A( x, Ξ) zählbar und seine Ordnungszahl ist f( x).
AM.Denn die Function f′(x), die in A( x, Ξ) definiert und dort = f(x) ist, ist eine Zählung von A ( x, Ξ). Es ist in der Tat für alle Elemente y von A( x, Ξ)

M(f ′(y); y ε A(x, A( x, Ξ))) =
= M(f(y); y ε A(x, A( x, Ξ))) =
M(f(y); y ε A(x, Ξ)) = f(x) = f ′(x).

Also ist A( x, Ξ) zählbar, und seine Ordnungszahl ist

OZ(A( x, Ξ)) = M(f ′(x); x ε A( x, Ξ)) =
= M(f ′(x); x ε A( x, Ξ)) = f( x).

AN.4. Alle Abschnitte in Ξ seien zählbar. Dann ist auch Ξ zählbar.
AO.Wir definieren nämlich für jedes x von Ξ

f(x) = OZ(A(x,Ξ))

(Das können wir, da alle (A(x,Ξ) zählbar sind.) f(x) ist dann eine Zählung von Ξ. Gehört nämlich x zu Ξ, und ist g(y) die Zählung von A(x, Ξ), so ist für jedes Element y von A(x, Ξ)

g(y) = OZ(A(y, A(x,Ξ))) = OZ(A(y,Ξ)) = f(y)

so dass

f(x) = OZ(A(x,Ξ)) = M(g(y); y ε A(x,Ξ)) =
= M(f(y); y ε A(x, Ξ))

ist.
AP.5.Ξ sei wohlgeordnet. Dann ist Ξ zählbar.
AR.Denn im entgegengesetztem Falle wären auch nicht alle Abschnitte in Ξ zählbar. Es gäbe also ein erstes x, für welches A(x, Ξ) nicht zählbar ist. Nun ist jeder Abschnitt in A(x, Ξ) gleich

A(y, A(x, Ξ)) = A(y, Ξ)

für ein Element y von A(x, Ξ). Wegen y x ist dann A(y, Ξ) zählbar. Also sind alle Abschnitte in A(x, Ξ) zählbar, d.h. A(x, Ξ) ist zählbar, entgegen der Annachme.
AS.Damit haben wir bewiesen, dass Zählung und Ordnungszahl für alle wohlgeordneten Mengen eindeutig festgelegte Begriffe sind.

II. Kapitel
AT.6. Ξ sei wohlgeordnet und f(x) die Zählung von Ξ. Dann ist, für kein Element x von Ξ, f(x) ein Element von f(x).
AU.Würde nämlich, für irgendein Element x von Ξ, f(x) zu f(x) gehören, so gäbe es ein erstes derartiges x. Da f(x) die Menge aller f(y) ist, wo y x ist, wäre dann f(x) = f(y), für ein y x. Dann würde aber f(y) zu f(y) gehören und y x sein, entgegen der Annahme.
AV.7. Ξ sei wohlgeordnet, f(x) die Zählung von Ξ und x, y seien zwei Elemente von Ξ, für die x y ist. Dann ist f(x) < f(y).
AW.Aus x y folgt nämlich A(x, Ξ) < A(y, Ξ), also

M(f(u); u ε A(x, Ξ)) M(f(u); u ε A(y, Ξ)), f(x) f(y)

und weil f(x) zu f(y) gehört (da x y ist), zu f(x) aber nicht, so ist f(x) von f(y) verschieden. Also ist f(x) < f(y).
AX.8. Wir nennen, mit einem Ausdruck von Hessenberg, eine Menge von Mengen Ξ "durch Subsumption Ordnungsfähig", wenn für zwei verschiedene Elemente x, y von Ξ stets x < y oder x > y ist. Und wenn das der Fall ist, so definieren wir eine Ordnung dadurch, dass wir festsetzen, dass x y sei, falls x < y ist. Diese Ordnung nennen wir die"Subsumptionsordnung".
AY.Nun sei Ξ wohlgeordnet. Dann ist OZ(Ξ) stets durch Subsumption ordnungsfähig und in der Subsumptionsordnung dem Ξ ähnlich.
AZ.f(x) sei nämlich die Zahlung von Ξ. Irgend zwei Elemente P, Q von OZ(Ξ) sind dann wegen

OZ(Ξ) = M(f(x); x ε Ξ)

gleich f(x), bzw. f(y). Und da x y oder x y ist, ist f(x) < f(y) oder f(x) > f(y), also P < Q oder P > Q. Also ist OZ(Ξ) durch Subsumption ordnungsfahig.
BA.Die Zuordnung von x zu f(x) ist offenbar eine Abbildung von Ξ auf OZ(Ξ). Und da aus x y stets f(x) < f(y), also bei der Subsumptionsordnung f(x) f(y) folgt, ist die Abbildung auch ein-eindeutig und ahnlich. Also ist Ξ dem OZ(Ξ) ahnlich.
BB.9. P ist dann und nur dann eine Ordnungszahl, wenn es
BC.1. eine durch Subsumption odnungsfahige Menge von Mengen ist,
BD.2. seine Subsumtionsordnung eine Wohlordnung ist,
BE.3. für jedes Element ξ von P stets ξ = A(ξ, P) ist.
BF.Erstens nehmen wir an, dass P eine Ordnungszahl ist, dann sei P die Ordnungszahl der wohlgeordneten Menge Ξ, deren Zahlung f(x) ist.
BG.P ist eine Menge von Mengen, die nach dem soeben bewiesenem Satze durch Subsumtion ordnungsfähig ist (also ist 1. erfüllt) und die dem wohlgeordneten Ξ ähnlich, also selbst wohlgeordneten ist (also 2. erfüllt). Für jedes ξ von P ist, da ξ = f(x) (x Element von Ξ) sein muss,

ξ = f(x) = M(f(y); y ε Ξ, y x) =
= M(f(y); y ε Ξ, f(y) f(x)) =
= M(η; η ε P, η ξ) = A(ξ, P);

(also ist auch 3. erfüllt).
BH.Zweitens nehmen wir an, dass P die Bedingungen 1., 2., 3. erfüllt. Dann ist es durch Subsumtion ordnungsfähig, und in der Subsumptionsordnung wohlgeordnet. Wenn wir für alle Elemente x von P als Definition f(x) = x setzen, so ist f(x) eine zählung von P. In der Tat ist wegen 3. für alle ξ von P

f(ξ) = ξ = A(ξ, P); = M(η; η ε A(ξ, P)) = M(f(η); η ε A(ξ, P))

demnach ist

OZ(P) = M( f(ξ); ξ ε P) = M(ξ; ξ ε P) = P,

also ist P eine Ordnungszahl und zwar seine eigene Ordnungszahl.

III. Kapitel
BI.10. P sei eine Ordnungszahl. Dann ist P die Menge aller Ordnungszahlen, die < P sind.
BJ.P sei nämlich die Ordnungszahl der wohlgeordneten Menge Ξ, deren Zählung f(x) ist. Erstens nehmen wir an, dass Q ein Element von P ist. Wegen 3. ist dann

Q = A(Q, P) < P

und da Q = f(x), (x Element von Ξ) sein muss, und

f(x) = OZ(A(x, Ξ))

ist, ist f(x), also auch Q eine Ordnungszahl.
BK.Zweitens nehmen wir an, dass Q eine Ordnungszahl ist, für die Q < P ist. Wir orden P durch Subsumption. Es sei η ξ, ξ gehöre zu Q.
BL.Da dann ξ zu Q und zu P gehört, und P, Q Ordnungszahlen sind, ist

ξ = A(ξ, Q) =A(ξ, P)

Da η zu P gehört und η ξ ist, gehört η zu A(ξ, P). Und da

A(ξ, P) =A(ξ, Q) < Q

ist, gehört es auch zu Q. D. h.: es ist Q < P. Wenn η ξ ist und ξ zu Q gehört, so gehört auch η zu Q. Nach einem bekannten Satze über wohlgeordnete Mengen (P ist wohlgeordnet), ist also Q ein Abschnitt in P. Für ein Element ξ von P ist also

Q = A(ξ, P) = ξ

also gehört Q zu P.
BM.Wir können den jetzt bewiesenen Satz auch so aussprechen: Wenn P, Q Osdnungszahlen sind, so ist P Q mit P ε Q gleichbedeutend. Also ist für eine Ordnungszahl P niemals P ε P.
BN.11. P, Q seien zwei verschiedene Osdnungszahlen. Dann ist P < Q oder P > Q.
BO.R sei der Durchschnitt von P und Q. Da P durch Subsumptions ordnungsfähig ist und seine Subsumptionsordnung eine Wohlordnung ist (nach 1., 2.), da weiter R P ist, so gilt dasselbe von R, also erfüllt R die Bedingungen 1. und 2. Jedes Element ξ von R gehört zu P und Q, und, weil P, Q Ordnungszahlen sind, ist

ξ = A(ξ, R) = A(ξ, Q)

A(ξ, R) ist der Durchschnitt von A(ξ, P) und A(ξ, Q), also ist

ξ = A(ξ, R)

somit erfüllt R auch 3. Also ist R eine Ordnungszahl.
BP.Es ist R P und R Q. Wenn R = P oder R = Q ist, so ist P Q oder Q P, also P < Q oder P > Q (weil P ≠ Q ist). Dies ist aber stets der Fall; denn wäre R < P und R < Q, so wäre, da, P, Q, R Ordnungszahlen sind, R ε P, R ε Q. Also wäre R ε R(weil R der Durchschnitt von P und Q ist), was unmöglich ist, denn R ist eine Ordnungszahl.
BQ.12.U sei eine Menge von Ordnungszahlen. Zwei verschiedene Elemente P, Q von U sind stets Ordnungszahlen, also ist P < Q oder P > Q. D. h.: U ist durch Subsumption ordnungsfähig. Die Subsumptionsordnung von U ist aber eine Wohlordnung.
BR.Um das zu beweisen müssen wir zeigen, dass jedes V U, V ≠ Ø ein erstes Element hat.
BS.P sei ein Element von V. (P is ein Ordnungszahl.) Wenn es kein Element von V gibt, das < P ist, so hat V ein erstes Element, nämlich P. Wenn es solche Elemente gibt, so sei ihre Menge: W. Da alle Elemente von W Ordnungszahlen sind (wegen W V U) und < P sind, gehören sie alle zu P, also ist W P. Da W P, W ≠ 0 ist, und P wohlgeordnet ist, hat W ein erstes Element Q. (Wegen Q ε W ist Q < P.) Da jedes Element von V entweder ≥ P, also > Q ist, oder < P, also ein Element von W, und somit ≥ Q ist, ist Q auch das erste Element von V. V hat also allenfalls ein erstes Element.
BT.13. P ist dann und nur dann eine Ordnungszahl, wenn jedes Element von P ein Ordnungszahl ist und ≤ P ist.
BU.Erstens sei P Ordnungszahl. Jedes Element von P ist eine Ordnungszahl und < P.
BV.Zweitens genüge P unseren Bedigungen. Als Menge von Ordnungszahlen ist dann P durch Subsumption Ordnungsfähig und seine Subsumptionsordnung ist eine Wohlordnung, also sind 1., 2. erfüllt. Zweitens ist für jedes Element ξ von P

A(ξ, P) = M(η; η ε P, η ξ)

also, weil alle Elemente η von P Ordnungszahlen sind,

= M(η; η ε P, η OZ, η ξ) = M(η; η ε P, η ε ξ)

und somit, da ξ ≤ P ist, auch

= M(η; η ε ξ) = ξ

somit ist auch 3. erfüllt. Also ist P eine Ordnungszahl.
BW.Wenn P eine Menge von Ordnungszahlen ist, so bedeutet für jedes Element ξ von P (weil P eine Ordnungszahl ist) ξ ≤ P dass alle Ordnungszahlen die < ξ sind (d.h. alle Elemente von ξ) zu P gehören. Wir können daher den soeben bewiesenen Satz auch so aussprechen: P ist dann und nur dann eine Ordnungszahl, wenn alle Elemente von P Ordnungszahlen sind, und wenn für jedes Element ξ von P, alle Ordnungszahlen η, für die η < ξ ist, ebenfalls Elemente von P sind.

IV. Kapitel
BX.14. Ξ, Η seien wohlgeordnete Mengen. Ξ und Η sind dann und nur dann einander ähnlich, wenn OZ(Ξ) = OZ(Η) ist.
BY.Erstens sei OZ(Ξ) = OZ(Η). Da Ξ dem durch Subsumption geordneten OZ(Ξ), und Η dem durch Subsumption geordneten OZ(Η) ähnlich ist, ist dann wirklich Ξ dem Η ähnlich.
BZ.Zweitens sei Ξ dem Η ähnlich. Dann sei φ(x) eine ähnlich Abbildung von Ξ auf Η und g(x′) die Zählung von Η. Wenn wir für alle Elemente x von Ξ als Definition f(x) = g(φ(x)) setzen, so ist f(x) eine Zählung von Ξ. In der Tat ist für alle x von Ξ

M(f(y); y ε Ξ, y x) = M(g(φ(y)); y ε Ξ, y x) =
= M(g(φ(y)); y ε Ξ, φ(y) φ(x)) = M(g(y′); y′ ε Ξ, y′ φ(x)) =
= g(φ(x)) = f(x)

hieraus folgt aber

OZ(Ξ) = M(f(x); x ε Ξ) = M(g(φ(x)); x ε Ξ) =
= M(g(x′); x′ ε Ξ) = OZ(Η).

CA.15. Ξ ist dann und nur dann einem Abschnitt in Η ähnlich, wenn OZ(Ξ) < OZ(Η) ist.
CB.Erstens sei OZ(Ξ) < OZ(Η). Dann ist wegen 12. OZ(Ξ) ein Element von OZ(Η), also (sein eigener) Abschnitt in Η. Und da Ξ dem OZ(Ξ), Η dem OZ(Η) ähnlich ist, ist Ξ auch einem Abschnitt von Η ähnlich.
CC.Zweitens sei Ξ einem Abschnitte in Η ähnlich. Die Zählung von Η sei g(x), der fragliche Abschnitt sei A(x′,Η). Dann ist wegen der Ähnlichkeit

OZ(Ξ) = OZ(A(x′,Η)) = g(x′)

also ist OZ(Ξ) Element von OZ(Η), also ist wegen 12.

OZ(Ξ) < OZ(Η).

CD.16. Da stets einer und nur einer der folgenden drei Fälle eintritt (wegen 11.)

OZ(Ξ) < OZ(Η), OZ(Ξ) = OZ(Η), OZ(Ξ) > OZ(Η),

so tritt auch stets einer und nur einer der drei folgenden Fälle ein

Und diese drei Fälle sind bzw. gleichbedeutend mit

OZ(Ξ) < OZ(Η)

OZ(Ξ) ε OZ(Η)

OZ(Ξ) = OZ(Η)

OZ(Ξ) > OZ(Η)

OZ(Η) ε OZ(Ξ)

CE.17. Ξ sei wohlgeordnet. Dann gibt es eine und nur eine (durch Subsumption geordnete) Ordnungszahl die dem Ξ ähnlich ist, nämlich OZ(Ξ).
CF.OZ(Ξ) ist Ξ in der Tar ähnlich. Und wenn die Ordnungszahl P dem Ξ ähnlich ist, so sei P die Ordnungszahl von Η. Da Η dem P, P dem Ξ ähnlich ist, ist Η dem Ξ ähnlich, also

P = OZ(Η) = OZ(Ξ)

hieraus folgt auch: zwei durch Subsumption geordnete Ordnungszahlen sind dann und nur dann ähnlich, wenn sie identisch sind.
CG.Von dieser Stelle an ist es leicht die Theorie der Ordnungszahlen weiter zu entwickeln. Addition, Multiplication von Ordnungszahlen sind unschwer zu begründen. Die "Definition durch Transfinite Induction" ist allerdings nur dann zulässig, wenn der folgende Satz bewiesen ist:
CH."f(x) sei eine Function, die für alle Mengen von Dingen eines Bereichs B definiert ist und deren Werte stets Dinge des Bereichs B sind. Es gibt dann eine und nur eine Function Φ(P), die für alle Ordnungszahlen P definiert ist und deren Werte stets Dinge des Bereichs B sind, mit der Eigenschaft, dass für alle Ordnungszahlen P (POZ bedeute, dass P eine Ordnungszahl ist)

Φ(P) = f(M(Φ(Q); QOZ, Q < P)) = f(M(Φ(Q); Q ε P))

ist"
CI.Der Beweis dieses überhaupt nicht selbstverständlichen Satzes ist aber unschwer zu erbringen.⁴) Ist dieser Satz bewiesen, so kann auch die Theorie des Potenzirens von Ordnungszahlen, sowie die der "stetigen" oder "normalen"⁵) Ordnungszahl-Functionen ohne entwickelt werden.

Anmerkungen
CJ.¹) Cantor, Mathematische Annalen, Bd. 46, 49.
CK.²) Zermelo, Mathematische Annalen, Bd. 65, Fränkel Mathematische Annalen, Bd. 86.
CL.Das Axiom von Fränkel laufet so: "Wenn Ξ eine Menge ist und jedes Element x von Ξ durch ein ξ ersetz wird, so gibt es eine Menge Ξ ′, deren Elemente die ξ sind." Es füllt eine wesentliche Lücke der Zermeloschen Axiomatik aus.
CM.³) Vom axiomatischen Standpunkte ist es gar nicht sicher, ob es eine solche Menge gibt. Wir müssen vielmechr fordern, dass alle x mit der Eigenschaft E(x) eine Menge bilden. Dann garantiert das Fränkelsche Axiom die Existenz von M(f(x); E(x)). Diese Bedigung wird im Folgenden stets erfüllt sein.
CN.⁴) Der Beweis des Satzes verläuft (in starker Analogie zu den Schlüssen im 1. Kap., 1 -6) etwa folgendermassen:
CO.a) P sei eine Ordnungszahl. Gibt es dann eine Function Ψ(Q) die für alle Ordnungszahlen Q < P definiert ist, und die Eigenschaft

Ψ(Q) = f(M(Ψ(R); ROZ, R < Q))

besitzt? Und wieviele soche gibt es?

CP.b) Wenn es überhaupt eine gibt, so gibt es eine einzige. In diesem Falle heisse P "normal", und Ψ heisse Ψ_P. Ferner sei für ein normales P

Φ(P) = f(M(Ψ_P(Q); QOZ, Q < P))

CQ.c) Wenn P normal ist, so ist jedes Q < P normal, und es ist für alle R < Q

Ψ_Q(R) = Ψ_P(R)

Φ(Q) = Ψ_P(Q)

CR.d) Wenn alle Q < P normal sind, so ist auch P normal. (Es ist Ψ_P(Q) = Φ(Q).)

CS.e) Alle P sind normal. Aus d) folgt unmittelbar

Φ(P) = f(M(Ψ_P(Q); QOZ, Q < P)) = f(M(Φ(Q); QOZ, Q < P))

also ist Φ(P) die gewünschte Function.

CT.f) Es gibt nur ein derartige Function.

CU.⁵) Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, S. 114.

перевод на русский:
О введении понятия трансфинитных чисел
(Zur Einführung der transfiniten Zahlen)