Бернард Больцано (Bernard Bolzano. 5.X.1781 – 18. XII.1848) занимал с 1805 по 1820 год кафедру истории религии в Пражском университете. Уволенный на основании доносов врагов, обвинявших его в отступлении от догматов католической церкви, он посвятил остальную часть жизни исключительно научным занятиям в области логики и математики.
          Приводя список его работ в этой области, я пользуюсь случаем обратить внимание на хранящиеся в венской придворной библиотеке не опубликованные рукописи Больцано. Они составляют десять кип, помеченных буквами A, B, C, D, E, F, H, H, J. Только часть одной кипы содержит лекции этики, все остальное математического содержания.
          Больцано первый ввел в математику понятие о верхней границе и раньше Коши установил понятие о сходимости рядов, формулируя также общий критерий сходимости, известный под именем критерия Коши. (См. сочинения, помещенные в списке под нумерами 3 и 4).
          В сочинении, перевод которого здесь предлагается (№9 списка), Больцано является предшественником Георга Кантора (Georg Kantor. 3.III.1845) в теории бесконечных многообразий. Именно, в §§ 20-24 он устанавливает и развивает те свойства бесконечного, которые легли в основание теории Кантора.
          Я хотел бы обратить внимание читателя еще на некоторые замечательные места этой книги. В §5 дается то определение суммы, на котором построил свою арифметику Г.Грассман (H.Grassmann. 15.IV.1809 – 26.IX.1877). В §34 дается научное определение нуля. Очень интересны разъяснения, содержащиеся в конце §36. Замечательные мысли содержит §37, посвященный обоснованию анализа. Отметим еще конец §40, конец §41, начало §49 и конец §70.
          С некоторыми взглядами автора, в особенности в области метафизики, трудно согласиться. Утверждения, содержащиеся в примечаниях на страницах 61 и 64, оказались неверными, но мнения эти разделялись наиболее знаменитыми математиками этой эпохи.
          Понимание математических частей сочинения предполагает лишь элементарные знания из области высшей математики. Для понимания сказанного на странице 91 (конец §48) необходимо знать свойства логарифмической спирали.

          1. Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie. Prag.1804
          2. Beiträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik. 1. Lieferung. Prag. 1810.
abzac3. Der binomische Lehrsatz und als Folgerung aus ihm der polynomische, und die Reihen, die zur Berechnung der Logarithmen und Exponentialgrössen dienen, genauer als bisher erwiesen. Prag. 1816.
          4. Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege. Prag. 1817. Berlin 1894.
          5. Die drei Probleme der Rectification, der Complanation und der Cubirung ohne Betrachtung des unendlich kleinen, ohne die Annahme des Archimedes und ohne irgend eine nicht streng erweisliche Voraussetzung gelöst, zugleich als Probe einer gänzlichen Umstaltung der Raumwissenschaft allen Mathematikern zur Prüfung vorgelegt. Leipzig. 1817.
          6. Dr. B. Bolzano's Wissenschaftslehre, Versuch einer ausfürlichen und grösstentheils neuen Darstellung der Logik mit steter Rücksicht auf deren bisherige Bearbeiter. Herausgegeben von mehreren seiner Freunde. Mit einer Vorrede des Dr. J. G. A. Heinroth. 4. Bde. Sulzbach 1837.
          7. Versuch einer objektiven Begründung der Lehre von der Zusammensetzung der Kräfte. Prag. 1842.
          8. Versuch einer objektiven Begründung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes. Prag. 1843.
          9. B. Bolzano's Paradoxieren des Unendlichen. Herausgegeben von Prihonsky. Leipzig. 1851. Berlin. 1889.

          1. Lebensbeschreibung des Dr. B. Bolzano mit einigen seiner ungedrukten Aufsätze und dem Bildnisse des Verfassers, eingeleitet und erläutert vom Herausgeber. Sulzbach. 1836. (Автобиография).
          2. Skizzen aus dem Leben Dr. B. Bolzano's von dessen Artze Dr. A. Wisshaupt. Leipzig. 1850.
          3. Bruchstücke zu einer künftigen Lebensbeschreibung des sel. Professors Bernard Bolzano von Josef Hoffman in Techobuz. Wien. 1850
          4. Bernard Bolzano. Zivotopisny nastin. Sepsala Marie Cervinkova. V.Praze. 1881.
          5. B. Bolzano's Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung. Von Stolz in Innsbruck. 1881. Math. Ann. Bd. XVIII. s.255.
          6. Erdmann. Grundriss der Geschichte der Philosophie. Bd. 2. 1878. S. 389.
          7. Bernard Bolzano. Prednaska Marie Cervinkove-Riergove. V Praze. 1893.
          8. Husserl. Logische Untersuchungen. 1900. s. 225.
          9. Palagyi. Kant und Bolzano. 1902.

          Больцано начал писать замечательное сочинение «о парадоксах бесконечного» еще летом 1847-го года на прелестной даче в Либохе близ Мельника, в сообществе издателя, но, вследствие перерыва, обусловленного другими работами, закончил это сочинение только летом следующего года, последнего года своей жизни. Больцано доказал этим сочинением, что, несмотря на поздний возраст – 66 лет – и на очевидный упадок телесных сил, его духовные силы сохранили еще всю свежесть и подвижность. Кроме того, эта работа показала всему ученому миру всю самобытность его воззрений на самые отвлеченные и глубокие вопросы математики, чистого естествознания и метафизики. Действительно, если бы Больцано не написал и не оставил нам ничего больше, кроме этого трактата, то и в таком случае его следовало бы причислить, по нашему глубокому убеждению, к самым выдающимся людям нашего столетия. Самые интересные м запутанные вопросы, возникающие при исследовании понятия о бесконечности, вопросы, которые занимали с давних времен ученых, работавших в области априорных наук, он умеет разрешать с поразительной легкостью. Кроме того, он умеет излагать и развертывать перед глазами читателя эти вопросы с такой ясностью, что они в большинстве случаев становятся доступными для каждого, кто не вполне чужд этой области и лишь немногое усвоил в ней. Знаток же, если только он отнесется к этому трактату с некоторым вниманием, (и разве мы не вправе ожидать этого от каждого ученого?) вскоре узнает значение взглядов Больцано, намеченных здесь и разработанных обстоятельнее в других его сочинениях (особенно в его «Логике» и в «Athanasia»), и вскоре заметит, что ими намечается полное преобразование всей современной системы науки.
          Издатель, получив этот трактат в рукописи от наследников автора с обязательством напечатать его возможно скорее, принял на себя это обязательство тем охотнее, что оно вполне согласовалось с его самым сокровенным желанием (Больцано был его незабвенным учителем и другом). Он охотно исполнил бы и раньше это обязательство, если бы не возникли препятствия, которые он мог устранить лишь в течении настоящего года. Только теперь сделалось для него возможным исправить переписанное по рукописи, не всегда четкой и представляющей кое-где даже неправильности, составить точный указательсодержания для удобства в пользовании книгой и найти подходящее место для ее издания. Для этой цели он выбрал Лейпциг, с одной стороны, надеясь на более широкое распространение сочинения, напечатанного именно в Лейпциге; с другой стороны, желая почтить знаменитый город книг, украшение и гордость новой родины издателя (он чех по происхождению), так как он верит, что в будущем, когда великий гений Больцано будет признан всеми, Лейпциг прославится тем, что был местом, где появились впервые «Парадоксы».

Будиссин, 10 июля, 1850.

Содержание

          § 1. Почему автор занимается исключительно исследованием парадоксов бесконечного.
          § 2-10. Понятие о бесконечном в изложении математиков и исследование его.
          § 11. Как представляют себе бесконечное  Гегель и другие философы.
          § 12. Другие определения бесконечного и разбор их.
          § 13. Реальность понятия, установленного автором, доказанная примерами из области недействительного. Количество истин и теорем бесконечно.
          § 14. Опровержение некоторых возражений.
          § 15. Количество чисел бесконечно.
          § 16. Количество величин вообще бесконечно.
          § 17. Количество простых частей времени и пространства вообще бесконечно; точно также бесконечно количество точек времени и пространства, которые находятся между двумя сколь угодно близкими точками пространства или времени.
          § 18. Не всякая величина, которую мы рассматриваем как сумму бесконечного множества величин, является величиной бесконечной.
          § 19. Существуют бесконечные многообразия, большие или меньшие, чем другие бесконечные многообразия.
          § 20. Замечательное соотношение двух бесконечных многообразий, состоящее в том, что каждая вещь, принадлежащая одному многообразию, может быть соединена с некоторой вещью принадлежащей другому, таким образом, чтобы ни одна вещь в обоих многообразиях не оставалась без соединения и не появлялась бы более одного раза в соединении с другой вещью.
          § 21. Тем не менее, два бесконечных многообразия, равные по количеству своих частей, могут быть однако в таком соотношении, что одно из них будет представлять только часть другого.
          § 22 и 23. По какой причине для конечных многообразий имеет место другой случай; и каким образом эта причина исчезает для бесконечных многообразий.
          § 24. Две суммы попарно равных величин, если их многообразие бесконечно, могут не быть равными; это равенство будет иметь место только в том случае, когда оба множества определяются одинаковыми условиями.
          § 25. В области действительного также существует бесконечное.
          § 26. Закон полной определенности всего действительно существующего не противоречит этому утверждению.
          § 27. Заблуждение тех математиков, которые говорят о бесконечно больших промежутках времени, ограниченных однако с обеих сторон, или, что случается еще чаще, о бесконечно малых промежутках времени. Заблуждаются и те, что говорят о бесконечно больших и бесконечно малых расстояниях. Ошибаются также физики и метафизики, предполагая или утверждая, что существуют силы во вселенной в бесконечное число раз большие или меньшие, чем другие.
          § 28. Главнейшие парадоксы бесконечного в области математики; прежде всего в общей теории величин и особенно в учении о числах.
          Как разрешается парадокс исчисления бесконечного.
          § 29. Существует исчисление бесконечно больших.
          § 30. Точно также существует и исчисление бесконечно малых.
          § 31 и 32. Неправильность некоторых понятий, принятых даже в математике, о бесконечно больших и бесконечно малых.
          § 33. Осторожность, которую необходимо соблюдать для избежания ошибок при производстве вычислений с бесконечными.
          § 34. Более точное определение понятия о нуле. Нуль не может являться делителем в равенстве, не представляющем простого тождества.
          § 35. Противоречия, вытекающие из встречающегося иногда утверждения, что бесконечно малые величины, соединенные с помощью сложения или вычитания с другими, обращаются в нуль или исчезают.
          § 36. Эти противоречия не устраняются предположением некоторых математиков, что бесконечно малые величины равны нулю, бесконечно-же большие суть частные от деления конечной величины на нуль.
          § 37. Как, по мнению автора, следует понимать метод исчисления бесконечных, чтобы освободить его от всяких противоречий.
          § 38. Парадоксы бесконечного в прикладной части учения о величинах, а именно в учении о времени и пространстве.
          Уже само понятие о континууме или непрерывном протяжении заключает в себе кажущиеся противоречия. Как разрешить эти противоречия?
          § 39. Парадоксы в понятии о времени.
          § 40. Парадоксы в понятии о пространстве.
          § 41. Каким образом большая часть парадоксов в учении о пространстве объясняется из понятия о пространстве, которое предлагает автор?
          § 42 и 43. Каким образом неправильное понимание учения о бесконечно большом привело некоторых математиков к неправильным представлениям?
          § 44. Вычисление величины бесконечного пространства, принадлежащее И. Шульцу, и в чем собственно заключается ошибка этого вычисления.
          § 45. Учение о бесконечно малом тоже дало повод к некоторым несообразностям.
          § 46. Что следует думать о предложении Галилея: окружность круга также велика, как и его центр.
          § 47. Объяснение предложения, что обыкновенная циклоида имеет бесконечную кривизну в той точке, где она встречает свое основание.
          § 48. Каким образом происходит то, что некоторые протяжения, распространяясь в бесконечном пространстве, тем не менее имеют конечную величину; другие-же, напротив того, будучи ограничены конечным пространством, имеют все-таки бесконечную величину; и далее, некоторые другие сохраняют конечную величину, хотя делают бесконечное число оборотов вокруг одной точки.
          § 49. Еще некоторые парадоксальные отношения пространственных протяжений, имеющих бесконечную величину.
          § 50. Парадоксы бесконечного в области физики и математики.
          Какие истины следует признать, чтобы судить правильно об этих парадоксах.
          Доказательство того, что нет двух совершенно равных вещей, а также, следовательно, двух совершенно равных атомов (простых субстанций) во вселенной; далее, - что несомненно существуют простые субстанции, и что это суть переменные субстанции.
          § 51. Предрассудки, от которых следует освободиться, чтобы правильно судить об относящихся сюда парадоксах. Нет мертвого вещества, но есть инертное вещество.
          § 52. Предположение, что непосредственное действие субстанций недопустимо, представляет предрассудок школы.
          § 53. Подобным-же образом уверенность в том, что непосредственное влияние на расстоянии невозможно, является предрассудком.
          § 54. Проникновение одной субстанции в другую безусловно отрицается.
          § 55. Предрассудок, состоящий в том, что духовные существа не занимают пространства, так что не могут даже занимать места одной точки.
          Между созданными субстанциями нет других различий, кроме различий в степени.
          § 56. С этой точки зрения устраняется сам собой парадокс о связи духовных и материальных субстанций.
          § 57. Ошибочное представление о построении вселенной из одних сил, без субстанций.
          § 58. Нет ни высшей, ни низшей ступени бытия в творении Бога.
          § 59. Непрерывное наполнение бесконечного пространства субстанциями хорошо согласуется с различной плотностью тел, и нет никакой надобности предполагать, что субстанции проникают одна в другую.
          § 60. Каждая субстанция в мире находится в постоянном взаимодействием с каждой другой.
          § 61. Существуют между ними субстанции господствующие, но ни одна из них не обладает силами, которые-бы превосходили силы подчиненных субстанций на бесконечную величину.
          § 62. Существует-ли господствующая субстанция в каждой совокупности субстанций.
          § 63. Кроме господствующих субстанций существует еще мировое вещество – эфир, которое заполняет все остальное мировое пространство и соединяет все мировые тела.
          Между субстанциями существует притяжение и отталкивание, и каким образом автор представляет себе это.
          Отчего происходит, что вещества различающиеся между собой своими силами, а именно степенью взаимного притяжения, по весу равны между собой или что веса их относятся между собою, как массы.
          § 64. В чем проявляется господство определенных субстанций или атомов над другими, и что отсюда следует.
          § 65. Ни одна особенная субстанция не может испытывать такого изменения, чтобы, благодаря ему, освободиться от всех ближайших частиц, окружающих ее.
          § 66. Где кончается одно тело и начинается другое или вопрос о границах тел.
          § 67. Находятся ли тела в непосредственном соприкосновении одно с другим, и когда это бывает.
          § 68. Возможные виды движений во вселенной.
          § 69. Описывает-ли какой-нибудь атом во вселенной в какое-либо время линию вполне прямую или вполне кривую.
          Принимая во внимание мнение автора о бесконечности вселенной, возможно-ли допустить поступательное движение ее в каком-нибудь определенном направлении или вращательное движение ее вокруг данной мировой оси или мирового центра.
          § 70. Два парадокса, получивших, благодаря  Эйлеру,  большую известность.

---

| § 1-10 | § 11-20 | § 21-30 | § 31-40 | § 41-50 | § 51-60 | § 61-70 |