Вступление

AA.Целью настоящей работы является: прояснить и конкретизировать понятие Канторовского порядкового числа.
AB.После Георга Кантора стало обычным образовывать это понятие с помощью абстрагировани некоего свойства, общего для определенного класса множеств¹). Эту несколько расплывчатую процедуру абстрагирования мы хотим заменить на другую, основанную на точно определенных теоретико-множественных операциях. Наша процедура, оставаясь представленной в языке наивной теории, останется однако (в противоположность процедуре абстрагирования) представленной и в "формальной", аксиоматизированной теории множеств. Таким образом полученные результаты будут справедливы в рамках аксиоматики Цермело (с добавленной к ней аксиомой Френкеля²)).
AC.Мы хотим утверждение "Каждое порядковое число есть [порядковый] тип множества всех предшествующих ему порядковых чисел" положить в основу наших рассуждений. Однако, чтобы избежать употребления неясного понятия "тип", мы придадим этому утверждению следующую форму: "Каждое порядковое число есть множество всех предшествующих ему порядковых чисел". Это предложение не является чем-то, что мы будем доказывать; напротив, оно, при наличии уже определенной трансфинитной индукции, само было бы определением порядковых чисел. Мы бы имели (далее Ø будет обозначать пустое множество, (a, b, c, ...) множество с элементами a, b, c, ...):

0 = Ø
1 = (Ø)
2 = (Ø, (Ø))
3 = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)))
..........................................................
ω = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)), (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))),.....),
ω + 1 = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)),(Ø, (Ø), (Ø, (Ø))), ..... (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)), (Ø, (Ø), (Ø, (Ø))), .....))
.........................................................
AD.Мы не считаем понятие трансфинитной индукции заданным изначально, мы считаем заданными изначально понятие "вполне упорядоченного множества" и понятие "подобия". Далее мы будем придерживаться строгого формализма, всюду избегая символа "..." и подобных ему.
AE.Наши соглашения будут следующими: пусть Ξ, Η некоторые множества, тогда Ξ<Η или же Η>Ξ если Ξ есть подмножество Η; Ξ<Η или же Η>Ξ если Ξ есть собственное подмножество Η. Пусть дано множество Ξ запись x ε Ξ будет означать, что x есть элемент множества Ξ, записи (a), (a, b), (a, b, c) будут обозначать множества, элементами которых будут соответственно a; a и b; a, b и c.
AF.Пусть E(x) некоторое свойство, f(x) некоторая функция определенная для всех x, которые обладают свойством E(x). Тогда запись

M(f(x);E(x)

будет обозначать множество всех значений f(x), для всех x обладающих свойством E(x). Пусть Ξ упорядоченное множество, x элемент из Ξ. Тогда множество

M(y; y ε Ξ, yx)

всех элементов y из Ξ таких, что y предшествует x будем называть x - отрезком множества Ξ и обозначать, для краткости, через A(x,Ξ)



Глава I

AG.1.Пусть Ξ вполне упорядоченное множество. Функцию f(x), определенную на Ξ, будем называть пересчетом множества Ξ, если для всех элементов x из Ξ

f(x) = M(f(y); y ε A(xΞ))

Если некоторая функция f(x) есть пересчет множества Ξ, то множество

M(f(x); y ε Ξ))

будем называть порядковым числом множества Ξ. Если существует какой-либо пересчет множества Ξ, то множество Ξ будем называть исчислимым.
AH.Пусть x₁, x₂, x₃, x₄ 1-ый, 2-ой, 3-ий и 4-ый элементы некоторого вполне упорядоченного множества Ξ; тогда, очевидно, для любого пересчета f(x) множества Ξ

f(x₁ ) = Ø,
f(x₂ ) = (Ø),
f(x₃ ) = (Ø, (Ø)),
f(x₄ ) = (Ø, (Ø), (Ø, (Ø)));

Следовательно, порядковое число множества Ξ, если это множество имеет 0, 1, 2 или три элемента, будет, соответственно

Ø,
(Ø),
(Ø, (Ø)),
(Ø, (Ø), (Ø, (Ø))).

AI.2.Пусть Ξ вполне упорядоченное множество. Тогда любые два пересчета f(x), g(x) множества Ξ совпадают.
AJ.Так как, если предположить противное, то должен существовать первый элемент x, для которого f(x) ≠ g(x). Для всех же y x, было бы f(y) = g(y) и, следовательно

M(f(y); yε Ξ, y x) = M(g(y); yε Ξ, y x)

а это означает, чтоf(x) = g(x). Получили противоречие.
AK.Отсюда следует, что любое вполне упорядоченное множество Ξ имеет один и только один пересчет. С этого момента для всех исчислимых множеств мы можем считать понятие пересчета и понятие порядкового числа точными понятиями. Порядковое число вполне упорядоченного множества Ξ будем в дальнейшем обозначать OZ(Ξ).
AL.3.Пусть Ξ исчислимое множество, f(x) пересчет Ξ, и x некоторый элемент Ξ. Тогда множество A( x, Ξ) исчислимо и его порядковое число есть f(x).
AM.Если f′(x) определена на A( x, Ξ) и = f(x) она есть пересчет A( x, Ξ). В самом деле, для каждого элемента  y из A( x, Ξ) будем иметь

M(f ′(y); y ε A(x, A( x, Ξ))) =
= M(f(y); y ε A(x, A( x, Ξ))) =
M(f(y); y ε A(x, Ξ)) = f(x) = f ′(x).

Отсюда получаем, что A(x′, Ξ) исчислимо и его порядковое число есть

OZ(A( x, Ξ)) = M(f ′(x); x ε A( x, Ξ)) =
= M(f ′(x); x ε A( x, Ξ)) = f( x).

AN.4. Пусть каждый отрезок из Ξ исчислим. Тогда Ξ также исчислимо.
AO.Для каждого x из Ξ определим

f(x) = OZ(A(x,Ξ))

(Мы можем это сделать, т.к. каждый отрезок (A(x,Ξ) исчислим.) Тогда f(x) пересчет множества Ξ. Возьмем произвольное x из Ξ, пусть g(y) пересчет A(x, Ξ), для каждого элемента y из A(x, Ξ) будем иметь

g(y) = OZ(A(y, A(x,Ξ))) = OZ(A(y,Ξ)) = f(y),

отсюда получим

f(x) = OZ(A(x,Ξ)) = M(g(y); y ε A(x,Ξ)) =
= M(f(y); y ε A(x, Ξ)).

AP.5.Пусть Ξ вполне упорядоченное множество. Тогда Ξ исчислимо.
AR.Предположим противное, тогда не все отрезки из Ξ были бы исчислимы. тогда существовал бы первый элемент x из Ξ, для которого A(x, Ξ) не является исчислимым. Из предположения также немедленно следует, что

A(y, A(x, Ξ)) = A(y, Ξ)

для каждого y из A(x, Ξ). Так как y x отрезок A(y, Ξ) исчислим. Из того, что каждый отрезок из A(x, Ξ) исчислим, следует, что A(x, Ξ) исчислим, что противоречит предположению.
AS.В силу всего доказанного, мы можем с этого момента считать, что понятие пересчета и понятие порядкового числа точно определены для любого вполне упорядоченного множества.




Глава II

AT.6. Пусть Ξ вполне упорядочено и пусть f(x) пересчет Ξ. Тогда: f(x) не является элементом f(x), какой бы элемент x из Ξ мы ни взяли.
AU.Предположим, что есть элементы x из Ξ, для которых f(x) есть элемент f(x). Тогда среди таких x есть первый элемент. Т. к. f(x) есть множество всех f(y) для которых y x, то для некоторого y будем иметь f(x) = f(y) (т.к. f(x) есть элемент f(x)). Получаем: f(y) есть элемент f(y) и y x, что противоречит предположению.
AV.7. Пусть Ξ вполне упорядочено, f(x) пересчет Ξ, и пусть x, y два элемента из Ξ таких, что x y. Тогда: f(x) < f(y).
AW.Из x y следует A(x, Ξ) < A(y, Ξ), и еще следует, что:

M(f(u); u ε A(x, Ξ)) M(f(u); u ε A(y, Ξ)), т.е.f(x) f(y).

поскольку f(x) есть элемент f(y) (т.к. x y), и f(x) не является элементом f(x), то f(x) не равно f(y). Отсюда f(x) < f(y).
AX.8. Множество множеств Ξ будем называть, следуя одному из выражений Hessenberg'а, "линейно упорядоченным по включению" если для любых двух различных элементов x, y из Ξ всегда либо x < y либо x > y. если предыдущее выполнено, мы можем определить линейный порядок на Ξ, а именно: мы можем считать, что x  y, если x < y. Этот порядок мы будем называть "линейным порядком по включению".
AY.Пусть теперь Ξ вполне упорядочено. Тогда: OZ(Ξ) всегда можно линейно упорядочить по включению и OZ(Ξ), таким образом упорядоченное, будет подобно Ξ.
AZ.Пусть f(x) пересчет Ξ, P, Q два элемента из OZ(Ξ) тогда

OZ(Ξ) = M(f(x); x ε Ξ) P = f(x)
Q = f(y) для некоторых элементов x, y.

Тогда, если x y либо x y, то f(x) < f(y) либо f(x) > f(y), а стало быть P < Q либо P > Q. И, стало быть, OZ(Ξ) линейно упорядочено по включению.
BA.Сопоставление элементу x множества f(x) есть, очевидно, отображение из Ξ на OZ(Ξ). И, так как из x y следует f(x) < f(y), будет следовать и порядок по включению f(x) f(y), т.е. полученное отображение будет взаимнооднозначным отображением подобия. Таким образом Ξ и OZ(Ξ) подобны.
BB.9. P тогда и только тогда будет порядковым числом, когда оно
BC.1. является множеством множеств, линейно упорядоченным по включению,
BD.2. упорядочение по включению является вполне упорядочением
BE.3. для каждого элемента ξ из P выполнено ξ = A(ξ, P).
BF.Сначала предположим, что P есть порядковое число. Тогда P - порядковое число некоторого вполне упорядоченного множества Ξ с пересчетом f(x).
BG.P есть множество множеств и, в соответствии с только что доказанным утверждением (см. AY.), его можно вполне упорядочить по включению (и, таким образом, выполнено 1.); т.к. P подобно вполне упорядоченному множеству Ξ (см. AY.), то само P будет вполне упорядоченным (и, таким образом, выполняется 2.). Для каждого элемента ξ из P (т.к. ξ = f(x) для некоторого элемента x из Ξ) будет выполнено

ξ = f(x) = M(f(y); y ε Ξ, y x) =
= M(f(y); y ε Ξ, f(y) f(x)) =
= M(η; η ε P, η ξ) = A(ξ, P);

(и, таким образом, выполняется 3.).
BH.Теперь предположим, что P обладает свойствами 1., 2., 3.. Тогда оно линейно упорядочено по включению, и это линейное упорядочение есть вполне упорядочение. Если мы для каждого элемента x из P положим по определению f(x) = x, то f(x) будет пересчетом P. В самом деле, в силу 3., для каждого ξ из P

f(ξ) = ξ = A(ξ, P); = M(η; η ε A(ξ, P)) = M(f(η); η ε A(ξ, P))

и, таким образом,

OZ(P) = M(f(ξ); ξ ε P) = M(ξ; ξ ε P) = P,

т.е. P есть порядковое число, а именно, P есть порядковое число для P (т.е. для самого себя).




Глава III

BI.10. Пусть P порядковое число. Тогда P есть множество всех порядковых чисел, которые меньше P.
BJ.Пусть P порядковое число вполне упорядоченного множества Ξ, и пусть f (x) пересчет Ξ. Сначала положим, что Q есть элемент P. Тогда, в силу 3.

Q = A(Q, P) < P

и, так как Q должно равняться f(x) для некоторого элементаx из Ξ и

f(x) = OZ(A(x, Ξ))

то Q есть порядковое число.
BK.Пусть, теперь, Q порядковое число, Q < P. Упорядочим P по включению. Пусть η ξ и ξ принадлежитQ.
BL.Тогда ξ принадлежит также и P. Так как P и Q порядковые числа то

ξ = A(ξ, Q) =A(ξ, P)

Так как η принадлежит P и η ξ, то η принадлежит A(ξ, P). И, поскольку

A(ξ, P) =A(ξ, Q) < Q,

η принадлежит Q. Мы имеем: 1) Q < P и 2) если η ξ и ξ принадлежит Q, то η также принадлежит Q. По одному известному предложению о вполне упорядоченных множествах (P вполне упорядочено), можем утверждать, что Q есть отрезок в P. Для некоторого элемента ξ из P будем иметь

Q = A(ξ, P) = ξ

т.е. Q есть элемент P.
BM.Мы можем сформулировать только что доказанное утверждение следующим образом:Пусть P, Q два порядковых числа, тогда P Q  равносильно P ε Q. Отсюда: каково бы ни было порядковое число P,  P не есть элемент P.
BN.11. Пусть P и Q два различных порядковых числа. Тогда: либо P < Q, либо P > Q.
BO.Пусть R пересечение P и Q. Поскольку P линейно упорядочено по включению и его упорядочение есть вполне упорядочение (см. 1., 2. BD., BC.), то, т.к. R P, R также будет удовлетворять условиям 1. и 2. Любой элемент ξ из R принадлежит как P так и Q, и, поскольку P, Q порядковые числа, то

ξ = A(ξ, R) = A(ξ, Q).

A(ξ, R) есть пересечение A(ξ, P) и A(ξ, Q), значит

ξ = A(ξ, R);

т.е. R удовлетворяет условию 3. Таким образом, R - порядковое число.
BP.Имеем: R P либо R Q. Если R = P либо R = Q, тоP Q либо Q P, а отсюда P < Q либо P > Q (поскольку P ≠ Q). Для завершения доказательства заметим, что случай R < P и R < Q невозможен. Если бы R < P и R < Q, то (поскольку P, Q, R - порядковые числа) было бы R ε P и R ε Q. Отсюда (поскольку R есть пересечение P и Q) было бы R ε R, что невозможно, т.к. R - порядковое число.
BQ.12. Пусть U множество порядковых чисел. Любые два неравных элемента P, Q из U будут порядковыми числами и для них будет выполнено одно из двух P < Q либо P > Q. Т.е. U линейно упорядочено по включению. Это упорядочение U будет вполне упорядочением.
BR.Докажем это, т.е. докажем, что каждое множество V U, V ≠ Ø имеет первый (наименьший) элемент.
BS.Пусть P некоторый элемент из V. (P - порядковое число.) Если V не содержит элементов меньших P, тогда в V есть первый элемент, а именно P. Если V содержит элементы меньшие P, обозначим их множество через W. Поскольку все элементы W порядковые числа меньшие P, то все они принадлежат P и, значит, W P (является подмножеством P). Поскольку W P, W ≠ Ø , и P вполне упорядочено, то W содержит первый элемент Q. (Wegen Q ε W ist Q < P.) Т.к. какждый элемент из V либо ≥ P, а значит > Q, либо < P, то элементы из W будут ≥ Q и Q, таким образом есть первый элемент V. То есть V содержит первый (наименьший) элемент.
BT.13. P тогда и только тогда является порядковым числом, когда каждый элемент P есть порядковое число и это порядковое число есть подмножество P (≤ P).
BU.Пусть, сначала, P - порядковое число. Тогда каждый элемент из P есть порядковое число и < P.
BV.Пусть теперь P удовлетворяет условиям теоремы (т.е. пусть каждый элемент P есть порядковое число ≤ P). Поскольку P есть множество порядковых чисел, то P вполне упорядочено по включению и, таким образом, условия 1., 2. выполнены. Далее, для каждого элемента ξ из P

A(ξ, P) = M(η; η ε P, η ξ),

отсюда, поскольку все элементы η из P порядковые числа, мы можем продолжить цепочку равенств следующим образом

= M(η; η ε P, η OZ, η ξ) = M(η; η ε P, η ε ξ),

и значит, т.к. ξ ≤ P (ξ есть подмножество P), то

= M(η; η ε ξ) = ξ;

т.е. условие 3. выполнено. Отсюда (т.е. из 1., 2., 3.) P есть порядковое число.
BW.Если P есть множество порядковых чисел, значит (потому что P - порядковое число) для каждого элемента ξ из P ξ ≤ P (т.е. ξ есть подмножество P). Другими словами: каждое порядковое число < ξ (т.е. каждый элемент из ξ) есть элемент P. Мы можем поэтому сформулировать только что доказанное утверждение следующим образом: Множество P тогда и только тогда есть порядковое число, когда каждый элемент из P есть порядковое число и для каждого элемента ξ из P, любое порядковое число η < ξ, есть элемент P.




Глава IV

BX.14. Пусть Ξ, Η вполне упорядоченные множества. Ξ и Η подобны друг другу тогда и только тогда, когда OZ(Ξ) = OZ(Η).
BY.Пусть OZ(Ξ) = OZ(Η). Так как Ξ подобно линейно упорядоченному по включению множеству OZ(Ξ), а Η подобно OZ(Η), то Ξ подобно Η.
BZ.Пусть, теперь, Ξ подобно Η. Пустьφ(x) есть отбражение подобия из Ξ в Η и g(x′) пересчет Η. Если для каждого элемента x из Ξ положить по определению f(x) = g(φ(x)), то f(x) будет пересчетом Ξ. В самом деле, для каждого элемента x из Ξ

M(f(y); y ε Ξ, y x) = M(g(φ(y)); y ε Ξ, y x) =
= M(g(φ(y)); y ε Ξ, φ(y) φ(x)) = M(g(y′); y′ ε Ξ, y′ φ(x)) =
= g(φ(x)) = f(x)

из этого следует

OZ(Ξ) = M(f(x); x ε Ξ) = M(g(φ(x)); x ε Ξ) =
= M(g(x′); x′ ε Ξ) = OZ(Η).

CA.15. Ξ тогда и только тогда подобно отрезку в Η, когда OZ(Ξ) < OZ(Η).
CB.Пусть OZ(Ξ) < OZ(Η). Тогда (в силу 12.) OZ(Ξ) есть элемент из OZ(Η), и, стало быть, OZ(Ξ) есть отрезок в Η. И, так как Ξ подобно OZ(Ξ), а Η подобно OZ(Η), то Ξ подобно отрезку в Η.
CC.Теперь пусть Ξ подобно отрезку в Η. Пусть g(x) пересчет Η, пусть Ξ подобно отрезку A(x′,Η). тогда, в силу подобия,

OZ(Ξ) = OZ(A(x′,Η)) = g(x′)

а отсюда OZ(Ξ) есть элемент OZ(Η), и, в силу 12.,

OZ(Ξ) < OZ(Η).

CD.16. Так как (в силу 11.) всегда выполнена одна и только одна из следующих возможностей

OZ(Ξ) < OZ(Η),  OZ(Ξ) = OZ(Η),  OZ(Ξ) > OZ(Η),

то имеет место одна и только одна из следующих трех возможностей

Ξ подобно отрезку из Η,
Ξ подобно Η,
Η подобно отрезку из Ξ.

Эти три возможности будут соответственно, равнозначны следующим:

OZ(Ξ) < OZ(Η) или, что тоже OZ(Ξ) ε OZ(Η),
OZ(Ξ) = OZ(Η),
OZ(Ξ) > OZ(Η) или, что тоже OZ(Η) ε OZ(Ξ).

CE.17. Пусть Ξ вполне упорядочено. Тогда существует одно и только одно порядковое число, которое (будучи линейно упорядоченным по включению) будет подобно Ξ, а именно - OZ(Ξ).
CF.Пусть OZ(Ξ) подобно Ξ. Пусть еще одно порядковое число P подобно Ξ. P есть порядковое число для некоторого множества Η. Так как Η подобно P, P подобно Ξ, то Η подобно Ξ, отсюда

P = OZ(Η) = OZ(Ξ);

утверждение доказано. Из него следует: Два порядковых числа, линейно упорядоченных по включению, подобны тогда и только тогда, когда они суть одно и тоже число.
CG.С этого места теория порядковых чисел легко может быть развита дальше. Нетрудно определить сложение и умножение порядковых чисел. (Места помеченные красным, переведены сомнительно, просьба сличить с оригиналом – прим. перев.)"Определение по трансфинитной индукции" допустимо, конечно, только тогда, когда доказано следующее утверждение:
CH."Пусть f(x) функция определенная для всех множеств элементов из некоторой области B (т.е. на 2^B ) и со множеством значений в области B (т.е. f :2^B → B). Тогда существует одна и только одна функция Φ(P) заданная на множестве всех порядковых чисел и со множеством значений в области B, со следующим свойством:
Для каждого порядкового числа P (запись POZ будет означать, что P есть порядковое число)

Φ(P) = f(M(Φ(Q); QOZ, Q < P)) = f(M(Φ(Q); Q ε P))

CI.Доказательство этого, вообще говоря, не очевидно, но его не трудно привести ⁴). Как только это утверждение доказано становится возможным развитие теории степеней (мощностей?) порядковых чисел, а также "stetigen" (или "normalen")⁵) функций на порядковых числах.

---

Примечания
CJ.¹) Cantor, Mathematische Annalen, Bd. 46, 49.
CK.²) Zermelo, Mathematische Annalen, Bd. 65, Fränkel Mathematische Annalen, Bd. 86.
CL.Аксиома Френкеля (Fränkel) звучит следующим образом: "Если взять множество Ξ и каждый элемент x из Ξ) заменить на некоторый элемент ξ (ξ, вообще говоря, разные для разных x), то получим некоторое множество Ξ ′, элементы которого суть ξ." Эта аксиома затыкает очень большую брешь в аксиоматике Цермело.
CM.³) С аксиоматической точки зрения нет никакой уверенности, что такое множество существует. Мы, напротив, должны требовать (требование 1.), чтобы все x со свойством E(x) образовывали множество. Тогда аксиома Френкеля гарантирует существование множества M(f(x); E(x)). В дальнейшем будем считать, что требование 1. всегда выполнено.
CN.⁴) Доказательство этого утверждения протекает приблизительно следующим образом:
CO.a) Пусть P порядковое число. Существует ли тогда функция Ψ(Q) определенная для всех порядковых чисел Q < P и обладающая свойством:

Ψ(Q) = f(M(Ψ(R); ROZ, R < Q))?

И сколько существует таких функций?

CP.b) Если такая функция вообще существует, то она единственна. В этом случае будем называть P "нормальным", и Ψ будем называть Ψ_P. Далее: пусть для некоторого нормального P

Φ(P) = f(M(Ψ_P(Q); QOZ, Q < P)).

CQ.c) Если P нормально, то каждое Q < P нормально, и для каждого R < Q

Ψ_Q(R) = Ψ_P(R) und Φ(Q) = Ψ_P(Q).

CR.d) Если все Q < P нормальны, то и P нормально. (Es ist Ψ_P(Q) = Φ(Q).)

CS.e) Пусть все P нормальны. Из d) немедленно следует:

Φ(P) = f(M(Ψ_P(Q); QOZ, Q < P)) = f(M(Φ(Q); QOZ, Q < P)).

отсюда Φ(P) требуемая функция.

CT.f) Es gibt nur ein derartige Function.

CU.⁵) Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, S. 114.

---

исходный текст:
Zur Einführung der transfiniten Zahlen
(О введении понятия трансфинитных чисел)