---

AA.Следующая теория математической логики показалась мне ценной в первую очередь своей способностью разрешать некоторые парадоксы, в том числе и наиболее известный математикам парадокс Бурали-Форте о наибольшем ординале (см. абзац AH). Но рассматриваемая теория зависит не только от косвенных соображений о полезности, эта теория, если только я не ошибаюсь, имеет также некоторое согласие со здравым смыслом, что делает ее внутренне надежной. Согласие со здравым смыслом, тем не менее, не является достоинством, которое стоит слишком уж подчеркивать, поскольку здравый смысл подводит нас и оказывается неправ гораздо чаще, чем это принято думать. Поэтому я начну с изложения некоторых парадоксов, которые нужно разрешить, а потом покажу, как теория логических типов влияет на их решение. I.
Парадоксы

AB.(1) Старейшим парадоксом, из тех, что мы будем рассматривать, является парадокс Эпименида. Эпименид Критский сказал, что все критяне лжецы и все сказанное ими есть несомненная ложь. Является ли высказывание Эпименида ложью? Простейшая форма этого парадокса возникает если кто-либо говорит: «Я лгу». Если он лжет, то он говорит правду и наоборот.
AC.(2) Пусть w является классом всех классов, которые не являются элементами самих себя. Тогда, для произвольного класса x, “x есть элемент w ” эквивалентно¹) высказыванию “x не есть элемент x”. Отсюда, подставляя w вместо x, получаем, что высказывание “w есть элемент w” эквивалентно высказыванию “w не является элементом w”.
AD.(3) Пусть T – отношение, которое имеет место между любыми двумя отношениями R и S всегда, когда R не находится в отношении R к S. Тогда, каковы бы ни были отношения R и S, “R находится в отношении T к S” эквивалентно “R не находится в отношении R к S”. Отсюда, придавая R и S значение T получаем: “T находится в отношении T к T” эквивалентно “T не находится в отношении T к T”.
AE.(4) Число слогов в английских названиях целых чисел, вообще говоря, возрастает, с ростом называемого числа (поскольку только конечное число названий целых чисел может быть построено при фиксированном числе слогов). Следовательно, “the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” должно обозначать некоторое определенное число (фактически, это число 111 777). Но “the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” само является именем, определяющим число и состоящим из 18 слогов. Следовательно, получаем парадокс: число, которое невозможно назвать (определить) меньше чем девятнадцатью слогами, может быть названо меньше чем девятнадцатью слогами.²)
AF.(5) Среди трансфинитных ординалов некоторые могут быть определены, а некоторые нет, поскольку число возможных определений есть , а число трансфинитных ординалов превосходит . Стало быть должны быть неопределимые ординалы и среди них должен быть наименьший. Но это число может быть определено как “наименьший неопределимый ординал”. Получили парадокс.³)
AG.(6)Парадокс Ришара⁴) похож на парадокс наименьшего неопределимого ординала. Заключается он в следующем: Рассмотрим все десятичные дроби, которые можно определить посредством конечного множества слов, обозначим через E класс таких дробей. Класс E имеет элементов и, следовательно, элементы класса E могут быть перенумерованы 1-ый, 2-ой, 3-ий и т.д. Пусть N - число, определенное следующим образом: если n-я цифра числа n-го числа класса E есть p, то n-я цифра числа N есть p +1 (или 0, если p = 9). Тогда N отличается от всех элементов из E поскольку какое бы n мы не взяли, n-я цифра числа N отличается от n-ой цифры n-го числа из E и, значит, N отличается от n-го числа из E. Тем не менее, мы определили число N конечным числом слов и, значит, N должно быть элементом E. Т.е., N одновременно является и не является элементом E.
AH.(7)Парадокс Бурали-Форти⁵) может быть изложен следующим образом: можно показать, что каждому вполне упорядоченному множеству соответствует порядковое число; можно показать, что порядковое число множества ординалов, не превосходящих данного ординала, больше этого ординала на 1; можно показать (при некоторых очень естественных допущениях), что класс всех ординалов (взятых в порядке возрастания) вполне упорядочен. Из последнего следует, что классу всех ординалов можно поставить в соответствие некоторое порядковое число, назовем его Ω. Но в этом случае порядковое число класса всех ординалов включающих Ω равно Ω+1 и это должно быть больше, чем Ω. Отсюда, Ω не является порядковым числом всех ординалов.
AI.Во всех вышеперечисленных парадоксах, а это только выборка из их бесчисленного множества, есть общая черта, которая может быть описана как “обращенность на себя” или рефлексивность. Высказывание Эпименида должно входить в множество высказываний, о которых оно говорит. Если все классы, которые не являются элементами самих себя, являются элементами w, то слово все предполагает, что это должно быть справедливо и для w. Подобным же образом обстоит дело и с аналогичным парадоксом отношений. Парадоксы, связанные с именами и определениями, являются результатами включения слов “неназываемый” и “неопределяемый” в имена и определения. В парадоксе Бурали-Форте ряд, порядковое число которого причиняет неприятности, - есть ряд всех порядковых чисел. В каждом парадоксе речь идет о всех предметах некоторого рода и из того, что сказано об этих предметах, следует существование некоторого нового предмета, который как является, так и не является предметом того рода, к которому относится слово “все”. Сейчас мы рассмотрим эти парадоксы по порядку и увидим, как это происходит.
AJ.Когда кто-либо говорит “Я лгу”, мы можем истолковать его утверждение следующим образом: “Имеется высказывание, которое я утверждал и которое является ложным”. Все утверждения, которые “имеются” (которые имеет в виду говорящий) можно считать отрицанием того, что противоположное всегда истинно, таким образом “Я лгу” превращается в “Для всех высказываний неверно, что: или я не утверждал их или они истинны.”, другими словами: “Для всех высказываний p неверно, что: если я утверждал p, то p - истинно.” Парадокс является результатом рассмотрения этого утверждения, как утвердительного высказывания о высказываниях, которое должно, следовательно, само находиться среди тех высказываний, о которых оно сделано. Отсюда становится очевидно, что понятие “все высказывания” – недопустимо; ибо иначе должны быть высказывания о всех высказываниях (подобные вышеприведенному), которые не могут без противоречия быть включены в число высказываний, о которых они сделаны. Что бы мы ни подразумевали под совокупностью всех высказываний (“всех” подразумевает завершенность) утверждения об этой совокупности породят новые высказывания, которые, дабы избежать противоречий, должны лежать за пределами исходной совокупности. Увеличивать совокупность (с целью включить в нее высказывания о высказываниях) бесполезно, ибо это повлечет увеличение числа утверждений об этой совокупности. Следовательно, совокупность всех высказываний и фраза “все высказывания” должны быть бессмысленны.
AK.(2) В этом случае определение класса w происходит с помощью обращения ко "всем классам" и класс w оказывается среди этих "всех классов". Если мы попытаемся спастись решив, что ни один класс не является членом самого себя, тогда w становится классом всех классов и мы вынуждены заключить, что он не является членом самого себя, т.е не является классом. Это возможно только в случае, если не существует такой вещи как "класс всех классов" в смысле, который подразумевается в парадоксе. Что такого класса нет есть результат того, что: если мы предположим его существование, то это предположение немедленно породит (как в парадоксе (1)) новые классы, лежащие вне предполагаемой совокупности всех классов.
AL.(3) Этот случай в точности аналогичен случаю (2) и показывает, что мы не можем говорить о “всех отношениях”.
AM.(4) “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” использует (неявно) совокупность всех имен, поскольку это число есть “the least integer such that all names either do not apply to it or have more than nineteen syllables” (=наименьшее натуральное число такое, что для всех имен они: или 1) не подходят к этому числу, или 2) содержат более 19 слогов). В этом случае (при построении парадокса) мы предполагаем, что фраза содержащая “all names” сама является именем, хотя противоречие говорит о том, что это имя (эта фраза) не может быть ни одним из предполагаемой совокупности “всех имен”. Отсюда, понятие “все имена” является недопустимым понятием.
AN.(5) Этот случай, подобно случаю (4), показывает, что понятие “все определения” – недопустимо.
AO.(6) Этот случай решается подобно случаю (5), если заметить, что выражение “ все определения” - недопустимо. Таким образом, число E не определяется конечным числом слов, оно является, фактически, не определенным вообще.⁶)
AP.(7) Парадокс Бурали-Форти показывает, что понятие “все ординалы” - недопустимо; ибо если бы оно было допустимым, то: поскольку все ординалы взятые в порядке возрастания образуют вполне упорядоченный ряд, то порядковое число ряда всех ординалов было бы больше самого себя.
AQ.Таким образом, общим для всех наших парадоксов является допущение о существовании завершенной совокупности всех вещей некоторого вида такой, что если принять ее существование, то она может быть немедленно увеличена за счет членов, определенных с помощью этой совокупности.
AR.Это приводит нас к правилу: “Если при построении чего-либо используются все члены некоторой совокупности, то это нечто не должно быть членом этой совокупности” или, от противного: “Если бы завершенная совокупность всех вещей некоторого вида содержала члены, определенные с помощью самой этой совокупности, то высказывания о “всех членах” этой совокупности были бы лишены смысла (ибо такая совокупность не может быть завершенной)”. [сноски нет, потому что она здесь не нужна, сличи с оригиналом - перев.]
AS.Только что сформулированный принцип является чисто отрицательным по своей природе. Его достаточно, чтобы показать, что многие теории неверны , но он не показывает, как могут быть исправлены ошибки. Мы не можем сказать “Когда мы говорим о всех высказываниях, мы имеем в виду все высказывания за исключением тех, в которых содержатся слова “все высказывания” ”, поскольку в этой фразе содержатся слова все высказывания, что делает ее бессмысленной (сличи с оригиналом). Невозможно избежать упоминания о чем-либо, упоминая, что мы не будем этого упоминать. С тем же успехом мы могли бы, разговаривая с длинноносым человеком сказать: “Когда мы говорим о носах, мы не имеем в виду носы чрезвычайной длины.” Ясно, что это была бы неудачная попытка избежать болезненной темы. Таким образом, если мы не хотим грешить против сформулированного нами негативного принципа, то мы должны построить нашу логику без упоминания таких вещей как “все высказывания” или “все свойства” и даже без упоминания, что мы исключаем такие вещи. Это исключение должно быть естественным и неизбежным результатом наших позитивных построений, из которых должно быть ясно, что “все высказывания” и “все свойства” суть бессмысленные фразы.
AT.Первое препятствие, с которым мы сталкиваемся, - это фундаментальные законы логики, известные под странным названием “законов мышления”. Например, фраза “Все высказывания являются либо истинными, либо ложными.” становится бессмысленной. Если бы она была осмысленной, она была бы высказыванием и то, что она говорит, относилось бы ней самой. Тем не менее, нужно найти нечто аналогичное, чем можно заменить эту фразу (что будет работать также, как эта фраза), иначе общие основания дедукции станут невозможными.
AU.Другая, более специальная, трудность иллюстрируется частным случаем математической индукции. Мы хотим иметь возможность сказать: “Если n - натуральное число, то n обладает всеми свойствами, которыми обладает 0 и которыми обладают числа, все предшественники которых обладают этим свойством.” В этой фразе “все свойства” должны быть заменены фразой, к которой не применимы вышеизложенные возражения. Можно подумать, что фраза “все свойства, которыми обладает 0 и которыми обладают числа, все предшественники которых обладают этим свойством” допустима, даже если “все свойства” недопустимы. Однако это не так: мы увидим, что фраза вида “все свойства, которые и т.д.” подразумевает все свойства, о которых “и т.д.” может осмысленно утверждаться либо отрицаться, а не только те, которые фактически рассматриваются, т.к. поскольку у нас отсутствует список рассматриваемых свойств, утверждения о тех, которые фактически рассматриваются должны иметь условный вид типа: “Всегда верно, что: если свойство фактически рассматривается, тогда и т.д.”. Таким образом, математическая индукция, по видимому, не может быть осмысленно сформулирована, если “все свойства” являются словосочетанием лишенным смысла. Эту трудность, как мы увидим позже, можно обойти, а пока нам следует рассмотреть законы логики, поскольку они более фундаментальны.