II.

“Все, каждый”   и   “любой, произвольный”


AV.Пусть дано утверждение содержащее переменную x, допустим "x = x". Мы можем утверждать, что это утверждение верно для всех значений x или мы можем утверждать, что оно верно для любого x, без указания на то x, о котором мы делаем утверждение. Разница между этими двумя случаями примерно такая же как между общим и частным утверждениями Евклида. Общее утверждение говорит нам, например, нечто о всех треугольниках, тогда как при частном утверждении мы берем один треугольник и утверждаем нечто об этом одном треугольнике. Но выбранный треугольник является любым (т.е. произвольным), а не каким-то специально выбранным и, таким образом, хотя в ходе доказательства рассматривается только один треугольник, все же доказательство не становится менее общим. Если мы говорим: "Пусть ABC некоторый треугольник, тогда сумма длин сторон AB и AC больше чем длина третьей стороны BC", то мы говорим нечто об одном треугольнике, не обо всех треугольниках; но рассматриваемый треугольник абсолютно произвольно выбран из совокупности всех треугольников и наше утверждение, следовательно, относится ко всем треугольникам. (сравни с оригиналом.) Мы не утверждаем верность утверждения о каждом треугольнике, мы утверждаем верность неопределенного утвеждения о произвольном треугольнике (которое получается если мы полагаем, что ABC есть тот или иной треугольник). Это понятие неопределенного утверждения очень важно и очень важно не смешивать неопределенное утверждение с утверждением, что нечто имеет место во всех случаях.
AW.Отличие между (1), утверждающим, что пропозициональная функция истинна при любых значениях x, и (2), утвердающим, что функция истинна при всех значениях x, прослеживается во всей математике, подобно тому как у Евклида различались частные и общие суждения. В любой цепочке математических рассуждений объекты, свойства которых изучаются, являются аргументами, принимающими произвольные значения в некоторой пропозициональной функции. В качестве примера рассмотрим следующее определение:
AX.(*)"Будем называть функцию f(x) непрерывной в точке x = a если для каждого положительного числа σ, неравного нулю, существует положительное число ε, , не равное нулю, такое что: для всех значений δ, модуль которых меньше ε, модуль разности f(a + δ) — f(a) меньше σ.
AY.Здесь функция f – произвольная функция, для которой это утверждение имеет смысл; это утверждение – о функции f, и оно меняется вместе со сменой f. Это – не утверждение о σ, ε или δ потому что используются все их возможные значения, а не одно какое-то произвольное значение. (Что касается ε, то фраза "существует положительное число ε такое, что etc" является отрицанием отрицания того, что "etc" истинно для всех положительных чисел.) По этой причине, когда утверждается что пропозициональная функция истинна при любом (произвольном) значении переменной, то переменная (например, f в определении (*)) называется настоящей переменной; если же о функции говорят, что она истинна всегда (или, что она истинна не всегда), то ее аргумент называется мнимой переменной.⁸) Таким образом, в определении (*), f – настоящая переменная, а σ, ε, δ – мнимые переменные.
AZ.Если мы утверждаем любое значение пропозициональной функции (т.е. утверждаем истинность пропозиций получаемых из этой функции при подстановке в нее произвольных значений настоящей переменной – примеч. переводчика), то мы будем просто говорить, что мы утверждаем пропозициональную функцию. Таким образом, если мы принимаем закон тождества в виде "x = x", мы утверждаем функцию "x = x"; т.е., мы утверждаем любое значение этой функции. Подобным же образом будем говорить, что мы отрицаем пропозициональную функцию, если мы отрицаем любое ее значение. Наше утверждение пропозициональной функции истинно (truly), если какое бы значение этой функции мы ни выбрали, это значение будет истинным; наше отрицание пропозициональной функции будет истинным, если какое бы значение функции мы ни выбрали, это значение будет ложно. Отсюда, в общем случае, когда некоторые значения пропозициональной функции истинны, а некоторые ложны, мы не можем ни утверждать, ни отрицать пропозициональную функцию.⁹)
BA.Если φx – пропозициональная функция, то будем обозначать через “(x).φx” пропозицию “φx всегда истинна”. Подобным же образом (x, y).φ(x, y) будет означать “φ(x, y) всегда истинна”, и так далее. Тогда различие между утверждением всех значений и утверждением любого из них есть различие между (1), утверждающим(x).φx, и (2), утверждающим φx, в котором x произвольно. Последнее отличается от первого тем, что оно не может трактоваться как одна пропозиция.
BB.Различие между утверждением φx и утверждением (x).φ(x) было, как мне кажется, впервые подчеркнуто Фреге.¹⁰) Причина, по которой он начал различать эти утверждения, в точности та же по какой они различаются в математической практике, а именно: математические выводы можно строить используя только настоящие переменные, а не мнимые. В доказательствах Евклида это очевидно: мы берем некоторый произвольныйц треугольник ABC о котором и рассуждаем, и нам не важно какой именно это треугольник. Этот треугольник ABC является настоящей переменной; и хотя это произвольный треугольник, он остается тем же самым треугольником в ходе всего рассуждения. Но в общем утверждении треугольник является мнимой переменной. Если мы будем использовать только мнимые переменные, то мы не сможем построить математических выводов, вот почему во всех доказательствах мы используем настоящие переменные. Допустим (берем простейший случай), что нам известно, что “φx всегда истинно” т.е., “(x).φx” и пусть “φx всегда влечет ψx” т.е., “(x).{φx влечет ψx}.” Как мы можем вывести, что “ψx всегда истинна”, т.е., “(x).ψx”? Мы знаем, что всегда истинно, что: если φx истинно и если φx влечет ψx, то ψx истинно. Но у нас нет посылок, чтобы сделать вывод; т.е нету, что φx истинна и φx влечет ψx; мы имеем только, что: φx всегда истинна, и φx всегда влечет ψx. Чтобы построить вывод, мы должны перейти от (1) “φx всегда истинна” к (1*) φx, и от (2) “φx всегда влечет ψx” к (2*) “φx влечет ψx” и хотя x в (2*) произволен (может быть любым из возможных аргументов), он должен быть один и тот же как в φx так и в ψx. Затем, из “φx” и “φx влечет ψx” мы получаем “ψx”; таким образом “ψx”, истинна для любого возможного значения аргумента и, стало быть, истинна всегда. Таким образом, чтобы из “(x)φx” и “(x).{φx влечет ψx}” вывести “(x)ψx” мы должны перейти от мнимых переменых к настоящим переменным, а затем вернуться к мнимым переменным. Эта переходы проделываются в любом математическом рассуждении, в котором из того, что одна или несколько пропозициональных функций истинны при всех значениях аргументов выводится, что некоторая функция истинна при всех значениях аргументов (как например, при выводе из утверждения “все равнобедренные треугольники имеют равные углы при основании” утверждения “все треугольники, имеющие равные углы при основании – равнобедренные”). В частности, эти переходы требуются при доказательстве Barbara и других модусов силлогизма. Иными словами, при всяком выводе мы работаем с настоящими переменными (или с константами).
BC.Можно было бы предположить, что мы могли бы вообще отказаться от использования мнимых переменных заменив все на любой. Однако, это не так. Посмотрим, например, на определение непрерывности функции в точке (см. выше определение (*)); в этом определении σ, ε и δ должны быть мнимыми переменными. Мнимые переменные постоянно нужны в определениях. Посмотрим, например, на следующее определение:
(**) “Натуральное число называется простым, если оно не имеет целых делителей за исключением 1 и самого себя.” Это определение содержит мнимую переменную в виде: “Если n – натуральное число, не равное 1 или данному целому числу, то n не является делителем данного числа ни для каких возможных значений n”.
BD.Таким образом, в дедуктивных рассуждениях необходимо различать все и любой, и так во всей математике и делается, хотя, насколько мне известно, важность такого различения оставалась незамеченной пока на нее не указал Фреге.
BE.Для наших целей это различие между все и любой имеет и другую, и очень большую, пользу. В случае, если наши переменные являются высказываниями или свойствами, то “любое значение” – законно, а “все значения” – нет. Таким образом, мы можем сказать: “p – ложна или истинна, где p – любая пропозиция”, хотя мы не можем сказать: “все пропозиции истинны или ложны”. Причина в том, что в первом случае мы утверждаем одну из неопределенных пропозиций вида “p – истинна или ложна”, тогда как во втором случае мы утверждаем (если утверждаем) новую пропозицию, отличную от всех пропозиций вида “p – истинна или ложна”. Таким образом, мы можем допустить “любое значение” переменной в случаях, когда “все значения” привели бы к рефлексивным парадоксам; поскольку допущение “любого значения” не создает новых значений [которые мы могли бы подставить в пропозициональную функцию – перев.]. Следовательно, фундаментальные законы логики могут быть сформулированы применительно к любым (т.е. произвольным) пропозициям, хотя утверждение, что они выполняются для всех пропозиций ведет к парадоксам [потому что вводит в рассмотрение такой противоречивый объект, как “все пропозиции” – перев.]. Эти законы можно, так сказать, ввести используя частные утверждения и нельзя вводить используя общие утверждения. Нет одного высказывания, которое бы было (скажем) законом противоречия, имеются различные частные случаи этого закона. О любом высказывании p мы можем сказать: “p и не-p не могут быть истинны оба”; но не допустимо такое высказывание как “Каждая пропозиция p такова, что p и не-p не могут быть оба истинны.”
BF.Подобное можно сказать и о свойствах. Мы можем говорить о любом свойстве объекта x, но не обо всех его свойствах, потому что таким образом может быть порождено новое свойство. То есть мы можем сказать: “Если (1)n – натуральное число; (2) 0 обладает свойством φ; и (3) m + 1 обладает свойством φ если m обладает свойством φ, то из (1), (2), (3) следует, что n обладает свойством φ.” Здесь мы не конкретизируем φ; φ означает “любое свойство”. Но мы не можем сказать: “Натуральное число определяется как объект, который обладает каждым свойством φ, которым обладает 0 и которым обладают все объекты, предшественники которых обладают этим свойством.”, т.к. здесь необходимо рассматривать каждое свойство,¹¹) а не любое свойство, то используя такое определение, мы предполагаем свойство отличное от свойств целых чисел, что является предположением такого рода, от которого, как мы видели, возникают рефлексивные парадоксы.
BG.В только что указаном примере естественный язык, будучи плохо приспособленым для выражения нужного различения, пытается увести нас в сторону, чему необходимо сопротивляться. Смысл этого замечания может быть проиллюстрирован следующим образом: Если индукция используется для определения натуральных чисел, то она должна устанавливать определенное свойство натуральных чисел, а не произвольное свойство. Но если φ – настоящая переменная, то утверждение “n обладает свойством φ при условии, что 0 обладает свойством φ и числа, предшественники которых обладают свойством φ, обладают свойством φ ” приписывает n свойство, которое меняется со сменой φ, а такое свойство не может использоваться для определения натуральных чисел. Допустим мы говорим: “Фраза ‘n – натуральное число’ означает: ‘Каково бы ни было свойство φ, n обладает свойством φ при условии, что 0 обладает свойством φ и числа, предшественники которых обладают свойством φ, обладают свойс­твом φ .’ ” Но здесь φ стало мнимой переменной. Чтобы φ оставалось настоящей переменной нам следовало бы сказать: “Каково бы ни было свойство φ, фраза ‘n – натуральное число’ означает: ‘n обладает свойством φ при условии, что 0 обладает свойством φ и числа, предшественники которых обладают свойством φ, обладают свойс­твом φ .’ ” Но здесь уже значение ‘n – натуральное число’ меняется со сменой φ, и такое определение невозможно. Этот пример выявляет важный момент, а именно: “Область¹²), в которой переменная является настоящей не может быть меньше всей функции, в утверждении которой данная переменная участвует.” То есть, если наша пропозициональная функция, например, “φx влечет p,” утверждение этой функции будет означать “для любого x, пропозиция ‘φx влечет p’ – истинна” а вовсе не “ ‘для любого x, пропозиция φx – истинна’ влечет p.” В последнем случае мы фактически имеем “все значения φx – истинны”, и x в этом случае есть мнимая переменая.

⁸) Этими двумя терминами мы обязаны Пеано, который употреблял их примерно в таком же смысле. Cf., e.g., Formulaire Mathematique, Vol. IV, p. 5 (Turin, 1903).  back to text8

⁹) Mr. MacColl говорит о "пропозициях", разделяя их на три класса: несомненные, переменные и невозможные. Мы можем принять такое деление применительно к пропозициональным функциям. Функции, которые можно утверждать, будут несомненными; которые можно отрицать будут невозможными, а все остальные (в смысле MacColl'а) – переменными.  back to text9

¹⁰) Смотри его работу Grundgesetze der Arithmetik, Vol. I (Jena, 1893), §17, p. 31.  back to text10

¹¹) Это не отличимо от “все свойства”  back to text11

¹²) Область настоящей переменной – это вся функция, “любое значение” которой рассматривается. Так в “ψx влечет p” область переменной x не ψx, а “ψx влечет p.”  back to text12

1   Слово "any", в том смысле как оно употребляется в тексте, приходится переводить то как "любой", то как "произвольный". Поэтому, чтобы привести название в соотвествие с текстом, пришлось изменить название раздела.