III.

Смысл и область применимости обобщенных пропозиций


BH.В этом разделе мы сначала разберемся со смыслом высказываний (propositions), содержащих слово все, а затем рассмотрим виды совокупностей, допускающие высказывания о всех своих членах.
BI.Название обобщенные пропозиции удобно дать не только пропозициям содержащим слово все, но также и пропозициям содержащим слово некоторые, потому что пропозиция “φx иногда истинно” эквивалентна отрицанию “не-φx всегда истинно”; “некоторые A суть B” эквивалентно отрицанию “все A суть не B;” т.е., отрицанию “ни одно A не есть B.” Вопрос о том, можно ли найти интерпретации в которых “φx иногда истинно” отличается от отрицания “не-φx всегда истинно” мы исследовать не будем; поскольку, для наших целей, мы можем определить “φx иногда истинно” как отрицание “не-φx всегда истинно”. В любом случае оба этих вида пропозиций требуют один и тот же вид интерпретации и подвржены одним и тем же ограничениям. В каждой из этих пропозиций есть мнимая переменная и именно при наличии мнимой переменной мы и называем пропозицию обобщенной пропозицией. (Заметим, что настоящей переменной ни в одной пропозиции быть не может; то, что содержит настоящую переменную будет пропозициональной функцией, а не пропозицией.)
BJ.Первый вопрос, которым нам следует задаться в этом разделе будет таким: «Как нам следует понимать слово все в таких пропозициях как “Все люди смертны.”?»   С первого взгляда можно подумать, что никаких затруднений нет, что “все люди” совершенно ясное понятие, и что мы говорим о всех людях, что они смертны. Но на эту точку зрения есть много возражений.
BK.(1) Если бы эта точка зрения была правильна, то могло бы показаться, что пропозиция “Все люди смертны.” не может быть истинна если людей нет. Однако, как настаивает Mr. Bradley,¹³) пропозиция “Нарушители будут наказаны” может быть абсолютно истинной, даже если нет ни одного нарушителя; и следовательно, как он доказывает далее, мы должны интерпретировать такие пропозиции как условные пропозиции (hypotheticals), означающие “если кто-либо является нарушителем, то он будет наказан.” т.е., “если x – нарушитель, то x будет наказан”, причем здесь совокупность значений, которые может принимать x, каким бы он ни был, явно не ограничивается теми кто действительно совершил нарушение. Подобным же образом “Все люди смертны.” будет означать “если x – человек, то x – смертен.”, где x может принимать любое значение из некоторой совокупности.” Что это за совокупность – нам еще предстоит определить, но в любом случае она шире, чем “совокупность людей” поскольку указанная выше условная пропозиция часто несомненно верна, даже если x не является человеком.
BL.(2) “Все люди” – это обозначающая (denoting) фраза; и кажется, по причинам, изложенным в другом месте,¹⁴) обозначающие фразы не обладают смыслом сами по себе, но лишь входят в качестве составляющих в вербальное выражение пропозиций, которые не содержат составляющих соответствующих данным обозначающим фразам. Другими словами, обозначающая фраза определяется с помощью пропозиций, в чьем вербальном выражении она встречается. Следовательно, невозможно чтобы смысл пропозиций прояснялся с помощью обозначающих фраз, т.е. мы должны найти независимую интерпретацию пропозиций содержащих обозначающие фразы и не должны использовать обозначающие фразы для объяснения того, что означают такие пропозиции. Отсюда, мы не можем рассматривать фразу “Все люди смертны.” как утверждение о “всех людях”.
BM.(3) Даже если такой объект как “все люди” существует, ясно, что это не тот объект, которому мы приписываем свойство быть смертным, когда говорим “Все люди смертны.” Если бы мы приписывали свойство быть смертным этому оббъекту, то мы должны были бы сказать “Все люди – смертны.” (сравни с оригиналом.) Таким образом, предположение, что такой объект как “все люди” существует не поможет нам проинтерпретировать фразу “Все люди смертны.”
BN.(4) Кажется очевидным, что если бы мы приняли нечто, что могло бы быть замаскированным ангелом, за человека, то существование этого нечто не сделало бы фразу “Все люди – смертны.” ложной и мы по прежнему могли бы утверждать, что “если это – человек, то он – смертен.” Таким образом снова, как и в случае с нарушителями, кажется ясным, что на самом деле мы, произнося фразу “Все люди смертны.” подразумеваем под ней фразу “Если нечто является человеком, то это нечто – смертно.”; при этом обстоятельство “является ли рассматриваемый объект человеком?” нам не нужно, на истинность фразы оно не влияет; оно влияло бы на истинность в том случае если бы все действительно относилось ко “всем людям.”
BO.(5) Мы, таким образом, приходим к мнению, что смысл фразы “Все люди – смертны.” может быть более развернуто выражен такой фразой как “всегда истинно, что: если x – человек, то x – смертен.” Теперь нам нужно посмотреть в каких случаях мы используем слово всегда.
BP.(6) Ясно, что при использовании слова всегда мы не исключаем некоторые случаи в которых x не является человеком (как мы видели в примере с замаскированным ангелом). Если бы придали слову всегда такой смысл, что x был бы ограничен так, что x мог быть только человеком, то мы могли бы вывести, что x – смертен (поскольку если x – человек, то x – смертен). Поэтому, с таким смыслом слова всегда, мы получили бы “всегда верно, что x – смертен.” Отсюда ясно, что слову всегда нужно придать другой смысл, поскольку последняя полученная пропозиция – ложна, тогда как предыдущая ей была истинна.
BQ.(7) Можно было бы надеяться, что “всегда” могло бы означать “для всех значений x.” Но “все значения x”, если бы оно было законным, должно было бы включать в себя такие ведущие к противоречиям совокупности как “все пропозиции”, “все функции” и им подобные. Значит, значения x должны быть как-то ограничены в пределах какой-то непротиворечивой совокупности. Это, по видимому ведет нас, к традиционному “универсуму рассуждения”, в пределах которого должен лежать x.
BR.(8) И все-таки важно иметь какое-то значение слова всегда, которое выражается не как ограничительное условие на x. Ибо, предположим, что “всегда” означает “всякий раз, когда x принадлежит классу i.” Тогда фраза “Все люди смертны.” будет означать “всякий раз, когда x принадлежит классу i, если x – человек, то x – смертен”; т.е., “всегда верно, что: если x принадлежит классу i, тогда: если x – человек, то x – смертен”. Но что теперь означает наше новое всегда ? Кажется причин для ограничения x до класса i не более, чем их было до этого при ограничении x до класса людей. Таким образом мы просто перешли от исходного универсума к более широкому и мы будем бесконечно переходить от одного универсума к другому если только не найдем какое-то естественное ограничение на возможные значения функции “если x – человек, то x – смертен”. Ограничение должно быть естественным в том смысле, что оно должно обуславливаться самой функцией, а не вводиться искусственно.
BS.(9) По-видимому очевидно, что поскольку все люди смертны, то какой-либо ложной пропозиции, являющейся значением функции “если x – человек, то x – смертен” быть не может. Ибо, если она вообще является пропозицией, условие “ x – человек” должно быть пропозицией и следствие “ x – смертен” тоже должно быть пропозицией. Но если условие ложно, условное высказывание всегда истинно; а если условие “x – человек” – истинно, то высказывание “если x – человек, то x – смертен” – истинно. Следовательно, не может быть ложной пропозиции вида “если x – человек, то x – смертен”.
BT.(10) Отсюда следует, что если какие-то значения x должны быть исключены, то это могут быть только такие значения, для которых невозможна пропозиция вида “если x – человек, то x – смертен”; т.е. такие x, для которых эта фраза является бессмысленной. Поскольку, как мы видели в (7), такие значения x должны быть исключены, отсюда следует, что функция “если x – человек, то x – смертен” должна иметь некоторую область применимости,¹⁵), которая хотя может быть и меньше всех возможных значений x, но превосходит совокупность всех людей. Искомое ограничение на x есть, следовательно, ограничение до области применимости функции “если x – человек, то x – смертен”.
BU.(11) Таким образом, мы приходим к заключению, что фраза “все люди смертны” означает “Всегда, если x – человек, то x – смертен”, где всегда означает ‘для всех значений функции “если x – человек, то x – смертен” ’. Это – внутреннее ограничение на x, обусловленное природой самой функции; и это ограничение не требуется вводить явным образом, поскольку для функции невозможно быть истинной более общим способом, нежели быть истинной для всех ее значений. Кроме того, если область применимости функции есть i, то попытавшись явно выразить эту область, например записав функцию (*) “если x принадлежит i тогда: если x – человек, то x – смертен”, мы получим, что функция (*) имеет ту же область применимости, что и исходная, поскольку она применима к x только если ее составляющая “если x – человек, то x – смертен” применима к x. Но область применимости функции (*) оказывается не выраженной явно, как это было в “если x – человек, то x – смертен”; таким образом мы не можем сделать область применимости явной, поскольку, пытаясь сделать это, мы лишь получаем новую функцию, в которой та же самая область применимости неявна.
BV.Обобщая, скажем: “(x).φx” должно означать “всегда φx”. Это можно понимать, хотя и с меньшей точностью, как “φx всегда истинна”, или более развернуто, как “все пропозиции вида φx истинны” или “все значения функции φx истинны”. ¹⁶) Таким образом, основной смысл слова все есть “все значения пропозициональной функции” и все остальные значения все производны от этого. И каждая пропозициональная функция имеет некоторую область применимости, которой принадлежат аргументы, для которых эта функция имеет значение. При этих значениях аргумента функция является истинной или ложной; при других значениях аргумента она лишена смысла.
BW.Вышеприведенные рассуждения можно подытожить следующим образом:
BX.Трудности, которые сопровождают попытки ограничить переменную, заключаются в том, что ограничение естественно выражается как предположение, что переменная относится к такому-то и такому-то виду и что, при переходе к условному высказыванию, это условное высказывание не подчиняется заданному ограничению. Например, пусть мы пытаемся ограничить переменную до людей и утверждать, что, при подчинении этому ограничению, “x – смертен” всегда истинно. Тогда то, что истинно есть: “если x – человек, то x – смертен”; и это условное высказывание истинно даже если x не является человеком; т.е., обобщая: переменная не может быть ограничена некоторой совокупностью если пропозициональная функция, в которой встречается эта переменная, применима к объектам, лежащим вне этой совокупности. Но если функция перестает быть применимой, когда переменная выходит за рамки некоторой совокупности, тогда переменная ipso facto ограничена этой совокупностью, причем нет необходимости явно выражать эту ограниченность. Это нужно иметь ввиду при развитии логических типов, к чему мы вскоре перейдем.
BY.Теперь мы начинаем понимать как получается, что “все такие-то и такие-то” иногда является оправданной фразой, а иногда – нет. Допустим мы говорим “все объекты, обладающие свойством φ, обладают свойством ψ.” В соответствии с вышеизложенным это означает (1BY) “φx всегда влечет ψx.” Если область применимости φx та же, что и у ψx, то утверждение “φx всегда влечет ψx” имеет смысл.
     Если дана некоторая определенная функция φx, то имеют смысл высказывания о “всех объектах, удовлетворяющих φx”. Но иногда (как мы увидим далее) случается так, что то, что словами выражено как одна функция, является на деле совокупностью похожих функций с различными областями применимости. Это относится, например, к “p – истинно”, которая, как мы увидим, в действительности не представляет из себя одну функцию зависящую от p, но является совокупностью различного вида функций, вид которых зависит от вида пропозиции p. В случаях подобных этому фраза, выражающая неопределенную функцию, может, из-за своей неопределенности, быть применимой к совокупности аргументов, превосходящей области применимости отдельных функций. В таком случае все неприменимо. Например (возвращаясь к (1BY) и подставляя вместо φx ‘p – истинно’ – перев.), если мы попытаемся сказать “все истинные пропозиции обладают свойством ψ”, т.е., “ ‘p – истинно’ всегда влечет ψp”, то возможные аргументы для ‘p – истинно’ неизбежно превышают совокупность возможных аргументов для ψ, и, следовательно, такое общее утверждение невозможно. По этой причине подлинно общие высказывания о всех истинных пропозициях невозможны. Может, однако, случиться так, что функция ψ окажется столь же неопределенной, что и ‘p – истинно’; в таком случае мы всегда сможем проинтерпретировать пропозицию “ ‘p – истинно’ влечет ψp”. Это случится, если, например, ψp есть “не-p – ложно”. Таким образом мы получаем видимость общих пропозиций о всех пропозициях; но этой видимостью мы обязаны систематической неопределенности таких слов как истинно и ложно. (Эта систематическая неопределенность вытекает из иерархии пропозиций, которая будет объяснена позже.) Мы можем во всех таких случаях строить пропозиции о любой (произвольной) пропозиции, поскольку смысл неопределенных слов будет приспосабливаться к любой пропозиции. Но если мы попытаемся преобразовать построенную пропозицию в пропозицию с мнимыми переменными и сказать что-нибудь о всех пропозициях, то мы должны предположить, что с непределенными словами связан тот или иной возможный смысл, хотя может быть совершенно безразлично какой из возможных смыслов им следует приписать. Таким образом и получается, как и то, что на слово все накладываются ограничения, которые исключают “все пропозиции”, так и то, что, тем не менее, кажутся истинными утверждения о “всех пропозициях”. Оба этих пункта станут яснее, когда будет изложена теория типов.
BZ.Часто предполагалось,¹⁷) что для того, чтобы высказывания о всех членах совокупности не вели к противоречиям, эта совокупность должна быть конечной. Так, “все люди смертны” не ведет к противоречиям, поскольку люди образуют конечный класс. Но на самом деле не по этой причине мы можем говорить о “всех людях”. Более существенной, как можно видеть из вышеприведеннго обсуждения, является не конечность, а то, что можно назвать логической однородностью. Этим свойством должна обладать любая совокупность, чьи элементы являются всеми элементами области применимости некоторой пропозициональной функции. С первого взгляда всегда было бы видно обладает совокупность этим свойством или нет, если бы не неопределенность, скрытая в общих логических понятиях, таких как истина и ложь, которая придает видимость единой функции тому, что на деле является конгломератом многих функций с различными областями применимости.
CA.Выводы этого раздела заключаются в следующем: Каждая пропозиция, содержащая все утверждает, что некоторая пропозициональная функция всегда истинна; и это означает, что все значения этой функции истинны, а не то, что функция истинна для всех аргументов, поскольку есть аргументы, для которых функция бессмыслена, т.е. не имеет значения. Поэтому мы можем говорить о всех элементах совокупности тогда и только тогда, когда эта совокупность является областью применимости или частью области применимости какой-либо пропозициональной функции, где область применимости определяется как совокупность тех аргументов, к которым эта функция применима, т.е. имеет значение для этих аргументов.

¹³) Logic, Part I, Chapter II  back to text13

¹⁴) “On Denoting,” Mind, October, 1905.  back to text14

¹⁵) Функция называется применимой к аргументу x если она имеет значение для этого аргумента (область применимости очень похожа на область определения функции – прим. перев.). Если мы для краткости скажем “φx имеет значение”, то это будет означать “функция φ имеет значение для аргумента x.” Область применимости функции состоит из совокупности аргументов для которых функция истинна в совокупности с теми для которых она ложна.  back to text15

¹⁶) Лингвистически удобным выражением этого понятия было бы: “φx истинна для всех возможных значений x”, под возможным значением следует понимать такое значение, для которого φx имеет значение.  back to text16

¹⁷) E. g., by M. Poincare, Revue de Metaphysique et de Morale, Mai, 1906.  back to text17