Бернард Больцано, ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО

Б. Больцано, Парадоксы бесконечного, параграфы 1-10

§ 1.

Хотя и нельзя согласиться с мнением Кестнера, что все встречающиеся в математике парадоксальные утверждения представляют собою предложения, которые либо непосредственно заключают в себе понятие о бесконечном, либо так или иначе опираются на это понятие, когда делается попытка их доказать, но это несомненно справедливо для большей части этих утверждений. Еще бесспорнее то, что к разряду таких утверждений принадлежат именно те математические парадоксы, которые заслуживают наибольшего внимания по той причине, что решение важнейших вопросов в некоторых других науках, как, например, в метафизике и физике, зависит от удовлетворительного опровержения кажущихся противоречий, заключающихся в этих утверждениях.
Это-же и составляет причину, по которой я в предлагаемом сочинении занимаюсь исключительно рассмотрением парадоксов бесконечного. Прежде всего необходимо выяснить, какое собственно понятие мы разумеем под словом “бесконечное”; иначе окажется для нас невозможным обнаружить, что противоречия, заключающиеся в этих математических парадоксах, представляются лишь кажущимися. Поэтому то мы и начинаем с определения понятия бесконечного.

§ 2.

Само название показывает, что бесконечное противоставляется всему конечному. То обстоятельство, что мы выводим название бесконечного из названия конечного, указывает нам сверх того, что мы представляем себе понятие бесконечного происходящим из понятия конечного, вследствии присоединения к нему новой составной части (такой частью является уже и понятие о простом отрицании). Что оба эти понятия относятся к м н о г о о б р а з и я м, к к о л и ч е с т в а м (т.е. к многообразиям единиц), а потому и к в е л и ч и н а м, этого нельзя отрицать уже по той причине, что именно в м а т е м а т и к е, т.е. в науке о величинах, мы и говорим чаще всего о бесконечном, рассматривая конечные и бесконечные множества и делая предметом нашего исследования и даже вычисления, наряду с к о н е ч н ы м и, не только б е с к о н е ч н о б о л ь ш и е, но даже и б е с к о н е ч н о м а л ы е величины. Не делая еще предположения, что оба эти понятия – конечного и бесконечного – применяются всегда только к таким вещам, в которых в каком-либо смысле могут быть обнаружены в е л и ч и н а и м н о ж е с т в о, мы вправе надеяться, что более точное исследование вопроса, при каких обстоятельствах мы считаем многообразие конечным или бесконечным, даст нам возможность определить, что такое б е с к о н е ч н о с т ь в о о б щ е.

§ 3.

С этой целью мы должны однако обратиться к одному из простейших понятий нашего ума, имея в виду установить значение термина, который будем употреблять для обозначения этого понятия. Мы говорим о понятии, лежащем в основе союза и. Для того, чтобы сделать это понятие настолько ясным, насколько этого во множестве случаев требуют математика и философия, я думаю, лучше всего выразить его следующими словами: совокупность известных вещей или целое, состоящее из известных частей. При этом мы должны установить, что эти слова принимаются в том широком значении, что во всех предложениях, где употребляется союз и, предмет речи есть известная совокупность предметов, целое, состоящее из известных частей. Например: 1) солнце, земля и луна находятся во взаимодействии; 2) роза и понятие о розе – две различные вещи; 3) имена Сократ и сын Софрониска обозначают одно и то же лицо. В первом примере это целое составляют солнце, земля и луна, и об этом целом высказывается мысль, что части его находятся во взаимодействии. Во втором примере это совокупность двух вещей: розы и понятия о ней, при чем высказывается суждение, что это две совершенно различные вещи и т.д. Этих немногих слов уже будет достаточно для установления соглашения относительно понятия, о котором идет речь, если мы при этом еще, конечно, прибавим, что любая вещь A с любыми вещами B, C, D… может составить совокупность вещей, или еще, говоря точнее, сама по себе составляет совокупность, о которой можно высказать много более или менее важных истин, постольку, поскольку представления A, B, C, D… в действительности соответствуют различным предметам, т.е. поскольку ложно каждое из следующих предложений: А есть то же, что В; А есть то же, что С; В есть то же, что С; и т.д. Если бы, например, А было тоже самое, что и В, то конечно было бы нелепым говорить о совокупности вещей А и В.

§ 4.

Существуют совокупности, которые, хоть и заключают те же части A, B, C, D…, но являются различными (мы назовем их существенно различными) в зависимости от точки зрения (понятия), с которой мы их рассматриваем, например, целый и разбитый в куски стакан, рассматриваемые, как сосуды для питья. То, что лежит в основании различия таких совокупностей, мы называем способом соединения или расположения их частей. Совокупность, определяемую таким понятием, при котором расположение частей безразлично (в которой, следовательно, не происходит никаких существенных изменений, если меняется только расположение частей), - такую совокупность я называю многообразием; а такое многообразие, все части которого будут рассматриваться как единицы известного рода А, т.е как предметы, содержащиеся в понятии А, называется множеством предметов А.

§ 5.

Известно, что существуют совокупности, части которых являются также составными, т.е. представляют из из себя опять совокупности. Между ними есть также совокупности, которые мы рассматриваем с такой точки зрения, что в них не произойдет существенного изменения, если мы станем рассматривать части частей, как части целого. Этого рода совокупности я назову термином заимствованным у математиков, – суммами. Действительно, понятие суммы и состоит в том, что

A + (B + C) = A + B + C.

§ 6.

Если мы рассматриваем предмет, как принадлежащий к такому роду вещей, что любые два из них M и N не могут никогда иметь другого отношения между собой, как то, что они или равны между собой, или одна из них представляет сумму, содержащую часть равную другой, т.е., что или M = N или M = N + ν или N = M + μ; причем для составных частей ν и μ имеет место тоже самое, т.е., что они или равны между собой, или одна из них может быть рассматриваема как часть другой, то этот предмет мы рассматриваем как величину.

§ 7.

Если данная совокупность предметов A, B, C, D, E, F . . . . L, M, N . . . . обладает таким свойством, что для каждой части M можно указать одну и только одну часть N такого рода, что мы можем определить помощью закона одинакового для всех частей совокупности, – или N его отношением к M, или M его отношением к N, – то такое собрание я называю рядом, а части его членами этого ряда. Закон, по которому или N определяется отношением к M, или M отношением к N, закон этот называется законом составления ряда. Один из членов ряда, притом какой угодно, я назову предыдущим, другой – последующим (не обозначая этим названием действительной последовательности во времени или пространстве). Я назову внутренним членом ряда каждый член M, который имеет предыдущий член и последующий, т.е. не только сам получается из другого члена, но и от которого тоже получается третий член, по закону составления этого ряда. Отсюда уже само собой ясно, какие члены я назову внешними, в случае если только они существуют, какой член я назову первым или последним. ¹)

§ 8.

Представим себе ряд, первый член которого есть единица рода A, а каждый последующий член составляется из своего предыдущего таким образом, что, взяв предмет ему равный, соединяют его с новой единицей рода A, образуя из них сумму. Тогда все входящие в этот ряд члены, за исключением первого, который представляет простую единицу рода A, будут количествами. Они будут представлять именно те количества, которые я называю конечными или исчислимыми количествами или даже – со включением первого члена – числами, более определенно: целыми числами.

§ 9.

Смотря по различным свойствам понятия, которое мы здесь обозначаем через A, оно может заключать в себе то большее, то меньшее количество предметов, т.е. единиц рода A; поэтому в вышеупомянутом ряде может быть и большее и меньшее количество членов. Их может быть также столько, что ряд, который должен исчерпать все эти единицы, не будет иметь последнего члена, как это мы покажем обстоятельнее впоследствии. Установив это, я буду называть бесконечным количеством количество большее, чем каждое конечное, т.е. количество такого рода, что каждое конечное многообразие представляет только часть его.

§ 10.

Со мной, я надеюсь, согласятся в том, что приведенное здесь определение обоих понятий, конечного и бесконечного количества, устанавливает различие между ними так, как его представляли себе те, кто употреблял эти выражения в строгом смысле слова. Со мною согласятся и в том, что в этих определениях нет ложного круга. Теперь для нас является важным только то, сможем-ли мы при посредстве определения одного только бесконечного количества дать определение бесконечности вообще. Это было-бы так, если-бы оказалось, что понятие бесконечного в настоящем значении слова может быть применено только к количествам, т.е., что бесконечность есть свойство одних только количеств; иначе говоря, что мы, называя нечто бесконечным, постольку даем ему это название, поскольку мы находим в нем свойство, которое можно рассматривать как бесконечное количество. А это, по моему, действительно справедливо. Математик, очевидно, не употребляет никогда этого слова в другом смысле, так как он вообще занимается почти исключительно определением величин, принимая одну из них, того же рода, за единицу и пользуясь понятием о числе. Если он находит величину, которая больше, чем любое число тех которые приняты за единицу, то он называет ее бесконечно большой. Если-же он находит величину столь малую, что каждое кратное ее оказывается меньше единицы, то он называет ее бесконечно малой. Кроме этих двух родов бесконечного и кроме выводимых из них родов бесконечно больших и бесконечно малых величин высшего порядка, которые вытекают все из того-же понятия, не существует для него ничего бесконечного.

Примечания
¹) Дальнейшие разъяснения этих и некоторых из установленных в предыдущих §§ понятий следует искать в «Wissenschaftslehre». назад к тексту1