Бернард Больцано, ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО

Б. Больцано, Парадоксы бесконечного, параграфы 31-40

§ 31.

Большинство математиков, которые решились заниматься исчислением бесконечного, пошло, однако, гораздо дальше, чем это возможно на основании установленных здесь основных положений. Они не только позволяли себе предполагать, без дальнейших размышлений, бесконечно большое или бесконечно малое в величинах, с природой которых это предположение несогласно (примеры чего мы приведем лишь впоследствии), но даже величины, получаемые от суммования бесконечного ряда, они позволяли себе – то считать равными, то считать одну большей, чем другую; и это только потому, что в обеих величинах можно указать попарно члены, находящиеся в этом отношении равенства или неравенства, хотя их многообразия были очевидно не равны. Они имели смелость утверждать, что не только исчезает каждая бесконечно малая величина в сложении с величиной конечной или каждая величина высшего порядка при величине низшего порядка, но даже каждая бесконечно большая величина низшего порядка в сложении наряду с величиной высшего порядка исчезает подобно простому нулю. Чтобы оправдать, хотя бы до некоторой степени, свой метод исчисления, основанный на этом предложении, они стали утверждать, что можно принимать и нуль за делитель, и что частное

1/0
означает, в сущности, не что иное, как бесконечно большую величину, а частное 0/0 величину совершенно неопределенную. Мы должны показать, насколько эти понятия ложны и как они вводят в заблуждение, потому что они еще и теперь более или менее в ходу.

§ 32.

Еще в 1830 году в Gergonne Annales de mathematique (T. 20. № 12) некто, подписавшийся буквами M.R. S., пробовал доказать, что известный бесконечный ряд

a – a + a – a + a – a + . . . . in inf. имеет значение a/2. Предположив, что это значение = x, он счел себя вправе заключить, что

x = a – a + a – a + a – a + . . . . in inf. = a – (a – a + a – a + a – a + . . . . in inf.), и что ряд, заключенный в скобках, тождествен с рядом подлежащим вычислению, и потому может быть положен равным x, что дает

x = a – x и, следовательно,

x = a/2. Не трудно найти ошибку в этом заключении. Ряд в скобках представляет, очевидно, не то самое многообразие членов, как ряд, который был положен равным x; в нем недостает первого a. Поэтому, в случае, если бы вообще можно было найти значение ряда, заключенного в скобки, то его следовало бы обозначить через x – a, а это дает тождественное равенство

x = a + x – a.           На это можно было бы возразить следующее: «В этом-то именно и лежит нечто парадоксальное, а именно в том, что этот ряд, который несомненно не бесконечно велик, оказывается не имеющим измеримого, поддающегося точному определению значения, и при том еще он происходит от продолженного в бесконечность деления a на 2 = 1 + 1, а это происхождение говорит в пользу предположения, что его настоящее значение именно a/2.»
          Я напомню, что нет ничего непонятного в том, что существуют выражения величин, не обозначающие никакой действительной величины; так, мы все считаем и должны считать нуль таким выражением.
          Если мы в частности определим ряд, только как величину, а именно, как сумму его членов, то, в силу понятия о сумме (которая принадлежит к многообразиям, т.е. к таким совокупностям, в которых не должно обращать внимания на порядок частей), этот ряд должен обладать таким свойством что, как ни изменять порядок его членов, значение его не изменится. Для величин должно быть

(A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B. Этот признак дает нам ясное доказательство того, что изображение о котором здесь говорится,

a – a + a – a + a – a + . . . . in inf. не будет изображением действительной величины. В самом деле, мы не изменили бы наверное ничего в представленной здесь величине, если бы только это была величина, изменяя это изображение следующим образом:

(1) (a – a) + (a – a) + (a – a) + . . . . in inf., так как здесь не произошло ничего другого, кроме соединения в частные суммы каждых двух членов, следующих непосредственно друг за другом; это же наверное возможно, так как данный ряд действительно не должен иметь последнего члена. Но таким образом мы получаем

0 + 0 + 0 + 0 + . . . . in inf., что очевидно равно 0.
Точно также ничто не может измениться в величине, представляемой этим выражением, в случае, когда оно выражает действительно некоторую величину, если мы его преобразуем либо к виду

(2) a + ( – a +a) + ( – a +a) + ( – a +a) + ( – a +a)+. . . in inf., при чем, пропуская первый член, мы соединяем каждые два следующих в частную сумму, либо к виду

(3) – a + (a – a) + (a – a) + (a – a) + (a – a) + . . in inf., что мы получим из выражения (1), переставляя члены в каждой паре и производя в полученном выражении те же изменения, посредством которых получилось (2) из (1). Если бы данное выражение не было беспредметным, то выражения (1), (2) и (3) должны были бы обозначать все одну и ту же величину, так как очевидно, представление суммы одного и того же многообразия величин не может представлять нескольких отличных друг от друга величин, как это имеет место для выражений ||/ + 1 , arcsin = 1/2 и во многих других случаях. Рассматриваемое здесь выражение

a – a + a – a + a – a + . . . . in inf., если оно не вполне беспредметно, с таким же правом, с каким мы хотели бы положить его равным нулю (который, в несобственном значении этого слова, тоже обыкновенно называют величиной), должно бы быть также положенным равным +a, а также и – a. Но это совершенно бессмысленно и дает нам право заключить, что мы имеем здесь перед собой совершенно беспредметное выражение.
Справедливо, что ряд, о котором мы говорили, получается от продолженного до бесконечности деления на 2=1+1, но, именно потому, что это деление дает всегда остаток (здесь, попеременно, то –a, то +a), все ряды, которые получают таким образом, только тогда представляют истинное значение частного (здесь a/2), когда остатки, получаемые при дальнейшем делении, становятся меньше каждой, сколь угодно малой величины, как это имеет место для рассмотренного в §18 ряда a + ae + ae² + . . .in inf., который получается от деления a на 1 –e, при e<1. Если же, как в рассматриваемом случае, e=1 или даже e>1, так что остатки возрастают тем более, чем дольше продолжается деление, то нет ничего понятнее, как то, что невозможно значение ряда положить равным частному a/(1 – e). Ибо каким образом можно было бы, например, положить 1/11 равной знакопеременному ряду

1 – 10 + 100 – 1000 + 10000 – 100000 + . . in inf., получаемому продолженным в бесконечность делением 1 на 1+10? Кто бы захотел считать ряд

1 + 10 + 100 + 1000 + . . . in inf., составленный из одних положительных членов, равным отрицательной величине – 1/9, только потому, что разложение 1/(1 – 10) ведет к этому ряду? Тем не менее, упомянутый выше M.R.S. защищает и такие суммования и хочет доказать, например, справедливость равенства

1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + 64 – 128 . . .in inf. = 1/3 только на том основании, что

При этом упущено опять из виду, что ряд, содержащийся в скобках, вовсе не тождествен с первоначальным, так как он уже не имеет того же количества членов. Что это выражение также беспредметно, обнаруживается подобно тому, как и в раньше рассмотренном случае, потому что и это выражение ведет к противоречию. В самом деле, с одной стороны, должно было бы быть:

С другой стороны, также верно, что рассматриваемое выражение

Таким образом, двумя правильными способами получается сперва бесконечно большое положительное значение, затем бесконечно большое отрицательное значение одного и того же выражения.

§ 33.

Итак, если мы не желаем впадать в заблуждение в наших вычислениях бесконечного, то мы не должны никогда позволять себе считать, что две бесконечно большие величины, происшедшие от сложения членов двух бесконечных рядов, равны или что одна больше или меньше другой на том только основании, что каждый член одного ряда соответственно равен, больше или меньше некоторого члена другого ряда. Столь же мало мы имеем право считать одну сумму большей только потому, что она заключает все члены другой суммы и, кроме того, еще много, даже бесконечно много, других (положительных) членов, которых нет в другой сумме. Несмотря на все это, первая сумма может быть меньше, даже в бесконечное число раз меньше, чем вторая. Пример этого представит нам очень известная сумма квадратов всех натуральных чисел, если мы сравним ее с с суммой первых степеней этих чисел. Конечно, никто не станет оспаривать, что каждый член ряда всех квадратов

⁽²⁾

будучи также натуральным числом, встречается и в ряду всех первых степеней натуральных чисел

⁽¹⁾

точно также никто не станет оспаривать, что в последнем ряду S⁽¹⁾, кроме всех членов ряда S⁽²⁾, содержится еще много, даже бесконечно много членов отсутствующих в ряду S⁽²⁾, так как они не квадратные числа. Тем не менее, S⁽²⁾, сумма всех квадратов, вовсе не меньше, а, напротив того, бесспорно, больше S⁽¹⁾, суммы первых степеней всех чисел. В самом деле, во-первых, количество членов в обоих рядах (если они еще не рассматриваются, как суммы и потому не разлагаемы на произвольное количество частей) наверное одно и то же, несмотря на всю кажущуюся верность противоположного. Возвышая в квадрат каждый отдельный член ряда S⁽¹⁾ при образовании ряда S⁽²⁾, мы изменяем только свойство (величину) этих членов, а не их количество. Если же множество членов S⁽¹⁾ и S⁽²⁾ одно и то же, то очевидно, что S⁽²⁾ должно быть много больше, чем S⁽¹⁾, так как, за исключением первого члена, каждый из остальных членов S⁽²⁾ решительно больше соответствующего члена S⁽¹⁾. Таким образом, рассматривая S⁽²⁾ как величину, мы видим, что S⁽²⁾ заключает в себе S⁽¹⁾ как часть, и содержит в себе еще другую часть, которая представляет опять бесконечный ряд с таким же числом членов как и S⁽¹⁾, а именно:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, . . in inf.; В этом ряду, если исключить два первых члена, все следующие члены больше соответственных членов в S⁽¹⁾, так что сумма целого ряда опять бесспорно больше, чем S⁽¹⁾. Если мы отнимем от этого остатка снова ряд S⁽¹⁾, то мы получим в качестве второго остатка ряд с тем же самым количеством членов

– 1, 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48, . . . n(n – 2) . . . in inf.; за исключением трех первых членов все следующие снова будут больше тех же по порядку членов в S⁽¹⁾, так что и этот третий остаток следует считать бесспорно большим, чем S⁽¹⁾. А так как такие заключения могут быть продолжены до бесконечности, то ясно, что сумма S⁽²⁾ в бесконечное число раз больше суммы S⁽¹⁾, так как вообще имеем

⁽²⁾

⁽¹⁾

и в этом ряду только конечное число отрицательных членов, а именно, только m – 1 первых членов, m-ый член = 0, все же остальные имеют положительные значения и возрастают до бесконечности.

§ 34.

Прежде, чем разъяснить надлежащим образом неправильность утверждений, упомянутых уже в §31-ом, мы должны определить понятие о нуле точнее, чем это делается обыкновенно⁶).
Бесспорно, все математики связывают со знаком 0 лишь такое понятие, которое позволяет всегда написать оба следующих равенства:

независимо от того, какое выражение представляет А: соответствует ли оно действительной величине, или совершенно беспредметно. Каждый согласится, что это возможно только при условии, что мы рассматриваем знак 0 не как представление действительной величины, но просто, как отсутствие величины, а изображение А ± 0 мы рассматриваем, как требование, состоящее в том, чтобы к величине, которую мы обозначим через А, не было ничего прибавлено и чтобы ничего от нее не было отнято. Ошибочно было бы думать, что для полного определения понятия которое математики связывают с этим знаком, достаточно простого определения, состоящего в том, что нуль есть безпредметное представление величины. В самом деле, известно, что существуют и другие употребительные в математике обозначения величин, которые также безпредметны, но которых мы не можем считать равными нулю, как например, знак, получивший такую важность в анализе,

. Если же мы определим точнее значение знака 0, говоря, что его следует так понимать, чтобы оба уравнения I и II всегда имели место, то мы установим понятие, которое, с одной стороны, настолько широко, насколько этого требует обычное употребление и интересы науки, с другой же стороны, достаточно узко для того, чтобы не допустить неправильного употребления его.
Требование, чтобы равенства I и II всегда выполнялись, не только определяет особым образом понятие о нуле, но, если присмотреться ближе, то окажется, что и понятия о сложении и и вычитании, которые здесь являются выраженными при помощи знаков + и —, благодаря установлению этих равенств, получают некоторое своеобразное расширение, которое очень полезно для науки.
Польза науки требует еще, чтобы понятие об умножении было так расширено, чтобы возможно было при всяком А (будет ли оно величиной конечной, бесконечно большой или бесконечно малой, или просто беспредметным представлением величины, как например,

или 0) написать равенство

III. 0•A = A•0 = 0. Наконец, в интересах науки следует обобщить насколько возможно и понятие деления так, чтобы не оказаться в противоречии с тремя установленными уже уравнениями; нужно, следовательно, также в равенстве

B •

A
––
B

• B = A

дать знаку В настолько широкое значение, насколько это позволяют сделать первые три равенства при уже установленной общности их. Эти три равенства допускают, чтобы В означало любую величину, конечную, также как и бесконечно большую или бесконечно малую, также и мнимую

, но не допускают никоим образом, чтобы считать В = 0, т.е. не допускают, чтобы был принят когда-либо делителем 0 или какое-либо выражение, равносильное нулю. В самом деле, так как по равенству III 0•A должно быть равно 0 при всяком A, то положив B = 0 в равенстве IV, мы найдем, что B•(A/B) должно быть также = 0; это согласуется с требованием равенства (IV), а именно с тем, что B•(A/B) = A, только в одном случае, когда A = 0. Чтобы не впасть в противоречие, мы должны, следовательно, установить правило, что нуль или равносильное нулю выражение не может быть употребляемо, как делитель, в равенстве, которое должно быть чем-нибудь отличным от простого тождества, как например:

A/0 = A/0. Необходимость соблюдения этого правила, кроме только что сказанного, доказывается еще многими, крайне нелепыми следствиями, которые получаются из совершенно правильных посылок, как только мы допустим деление на нуль.
Пусть а будет какой-либо вещественной величиной; тогда, если бы было возможно деление на выражение, равнозначное нулю, как например, на 1—1, то по известному, конечно, совершенно правильному методу деления получилось бы следующее равенство:

a/(1 – 1) = a + a + a + a + . . . + a + a/(1 – 1) в котором может быть любое количество слагаемых вида а. Если-же мы отнимем от обеих частей одно и тоже выражение a/(1 – 1) то получится в высшей степени нелепое равенство

a + a + a + a + . . . + a = 0. Если а и b пара различных величин, то будут иметь место следующие два тождества:

Если же можно делить обе части равенства на множитель, равный нулю, то мы получим нелепый результат а = b при всяких а и b. Впрочем, всем известно, что при более длинных вычислениях слишком легко натолкнуться на неправильный результат, отбрасывая множитель общий обеим частям уравнения, не убедившись предварительно, что он не равен нулю.

§ 35.

Теперь легко будет показать, как неправильно обычное утверждение, что не только бесконечно малая величина высшего порядка в соединении с помощью сложения или вычитания с конечной величиной, но также каждая конечная, даже бесконечно большая величина всякого, сколь угодно высокого порядка, в соединении с помощью сложения или вычитания с другой бесконечно большой высшего порядка исчезает, подобно простому нулю. Если сказанное следует понимать таким образом (а в обыкновенном изложении, которое еще более неосмотрительно, чем употребленные нами выражения, не предупреждают против такого ложного толкования), — если это, говорю я, следует понимать так, что в комплекс двух величин М

m, из которых первая в бесконечное число раз больше второй, можно вторую выбросить, даже и в том случае, когда в дальнейших вычислениях величина М сама исчезнет (например, вследствие вычитания равной ей величины), то мне незачем и доказывать ошибочность этого правила.
Мне скажут, однако, что это следует понимать иначе. Считая величины М и М

m равными, этим не хотят еще выразить, что они дают один и тот же результат, когда в продолжении вычислений они войдут в новые соединения с помощью сложения или вычитания; равенство же их состоит только в том, что они дадут одинаковые результаты при процессе измерения именно величиною N, которая, будучи одного с ними порядка, находится к одной из них в конечном (следовательно, вполне определимом) отношении. Для утверждения, что величины равны между собою, невозможно, правда, требовать меньше. Но удовлетворяют ли по крайней мере, этому требованию М и М

m? Если одна из них, например, М, находится в иррациональном отношении к мере N, то при самом обыкновенном способе измерения, при котором к любому числу q, как бы ни было оно велико, ищут другое число р такого свойства, что

M/N>p/q<(p +1)/q; может случиться, что также и (М

m)/N заключается постоянно в тех же границах, т.е. что

Но если отношение M/N будет рациональным, то существует число q, для которого

M/N = p/q, а (М

m)/N, напротив того, или > или < p/q, и здесь, очевидно, обнаруживается разница между этими величинами даже по сравнении с обыкновенными (конечными) числами. Каким же образом можем мы их назвать равными?

§ 36.

Чтобы избежать подобных противоречий, многие математики прибегали, по примеру Эйлера, к определению, состоящему в том, что бесконечно малые величины, на самом деле, —простые нули, бесконечно большие—частные, которые произошли от деления конечного числа на простой нуль. Это определение оправдывало с избытком исчезновение или отбрасывание бесконечно малой величины в соединении ее посредством сложения с конечной, но зато тем труднее оказалось сделать понятным существование бесконечно больших величин и возможность получения конечной величины от деления двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, а также существование бесконечно малых и бесконечно больших величин высших порядков. В самом деле, бесконечно большая величина являлась таким образом, как результат деления на нуль или на выражение, равнозначное нулю (т. е., собственно, беспредметное представление); она получалась, следовательно, способом, запрещенным законами вычислений; на всех же конечных или бесконечных величинах, которые получались от деления бесконечного числа на бесконечное, лежало многократное пятно незаконного происхождения.
Что, по-видимому, больше всего говорит в пользу правильности этого вычисления с нулями, это способ, которым, вычисляется значение величины у, зависящей от переменной х, значение, определяемое уравнением

в том частном случае, когда известное значение x = а обращает в нуль или одного знаменателя этой дроби, или вместе числителя и знаменателя. В первом случае, когда Φa = 0, а Fa остается величиной конечной, приходят к заключению, что у сделался бесконечно большим. Во втором же случае, когда Φa, также как и Fa, равно нулю, приходят к заключению, что оба выражения Фх и Fx содержат по одному или по нескольку раз сомножитель формы (х—a) и поэтому должны быть следующего вида:

ⁿ

при чем φx или fx могут представлять постоянные величины. Если теперь m > n, то приходят к заключению, что после сокращения дроби Fx/Φx, не изменяющего ее значения, знаменатель для х = а все еще делается нулем; поэтому утверждают, что значение х = а дает бесконечно большое значение для у. Если же m = n, то конечная величина, которая выражается дробью fa/φa, будет истинным значением y, так как должно быть Fx/Φx = fx/φx. Если наконец m < n, то, в виду того, что

^n-m

при x = а, обращается в нуль, приходят к заключению, что значение х = а обращает в нуль величину y.
Я думаю об этом способе следующее: если значение y, отвечающее х = а, в приведенных случаях считается бесконечно большим, то это, очевидно, может быть случайно правильным только тогда, когда величина у принадлежит к роду тех, которые могут делаться также и бесконечно большими. Этот результат не вытекает, однако, из данного выражения, которое требует деления на нуль. Из того только обстоятельства, что сказано, что значение у всегда одно и то же, а именно то, которое определяется данным выражением Fx/Φx, можно сделать заключение о свойстве величины y для всех тех значений х, которые дают действительную величину, но не тех значений х, при которых это выражение становится беспредметным, как это бывает в случае, когда его знаменатель или его числитель, или оба делаются нулями. Конечно, можно сказать, что величина у в первом только случае, когда Φx = 0, больше всякой данной величины; во втором же случае, гдe Fx = 0 меньше всякой данной величины; в третьем случае, наконец, когда Fx/Φx заключает одинаковое число сомножителей вида (x – a) в числителе и знаменателе, приближается к значению fa/φa так близко, как только угодно, если значение х будет сколь угодно приближено к а. Однако, из всего этого не следует ничего относительно свойств этого значения там, где выражение Fx/Φx беспредметно, т.е. не имеет никакого значения, потому что принимает форму 0 или c/0, или даже 0/0. В самом деле, предложение о равенстве двух дробей, из которых одна отличается от другой только тем, что отброшен общий сомножитель в числителе и знаменателе, справедливо, конечно, во всех случаях, за исключением одного, когда этот сомножитель нуль. Иначе,

с таким же правом, с каким мы пожелали бы утверждать что

2 • 0
––––
3 • 0

2
–
3

, можно было бы утверждать,

что любая величина, например 1000 = 2/3. В самом деле, точно так же верно то, что 3000•0 = 0, как и то, что 2•0 = 0. Поэтому, если можно положить (2•0)/(3•0) = 2/3, то можно также положить

2 • (3000 • 0)
–––––––––––
3 • (2 • 0)

(2 • 3000) • 0
–––––––––––
(3 • 2) • 0

= 1000

Ошибка в заключении, которая бросается здесь в глаза, только от того была менее заметна выше, что там деление на множитель х — а, равнозначный нулю, производится в такой форме, которая скрывает это нулевое значение. А так как отбрасывание общего сомножителя во всяком другом случае позволительно, то с тем большей уверенностью позволяют себе поступать так и в этом случае, что значение у оказывается как раз таким, каким его ожидают,—а именно, когда оно конечное, то оно является таким, каким оно должно быть по закону непрерывности; оно оказывается равным нулю, когда смежные с ним значения стремятся к нулю, – и бесконечно большим, когда смежные с ним возрастают до бесконечности. Забывают при этом, однако, что закону непрерывности не подчиняются все переменные величины, что величина, которая становится сколь угодно малою, вследствие того, что значение х делают сколь угодно близким к значению а, еще не должна по этой причине сделаться равной нулю для х = а; и что, точно также возрастая до бесконечности, с приближением х к а, она не должна сделаться действительно бесконечной для х = а. В геометрии именно имеется бесконечно много величин, не подчиняющихся закону непрерывности, например, величины линий и углов, которые служат для определения периферии и поверхности многоугольников и многогранников, и многие другие.

§ 37.

          Хотя в принятом до настоящего времени изложении учения о бесконечном можно указать,—и не без основания, по моему мнению,—много важных недочетов, однако известно, что результаты, по большей части, получаются совершенно верные, если только следовать с надлежащей осмотрительностью правилам, общепринятым в исчислении бесконечного. Такие результаты не могли бы никогда получиться, если бы не существовал действительно безупречный способ понимания этого метода исчисления и употребления его. Я охотно допускаю, что только этот способ и был тем, который неясно рисовался в уме остроумных изобретателей этого метода, хотя они и не были еще в состоянии изложить вполне ясно свои мысли в этом направлении, что в труднейших случаях удается обыкновенно только после многократных попыток.
          Да будет мне дозволено указать здесь в немногих чертах, как, по моему мнению, следует понимать этот метод, чтобы считать его вполне обоснованным. Достаточно будет поговорить о приеме, который следует соблюдать в дифференциальном и интегральном исчислении, так как метод исчисления бесконечно больших величин вытекает уже отсюда по простой противоположности, особенно после всего того, что сделал Cauchy в этом направлении.
          А именно, я не нуждаюсь вовсе в том стеснительном предположении (которое считалось необходимым), что рассматриваемые в вычислении величины могут становиться бесконечно малыми, —ограничение, которое исключает из области приложения этого метода исчисления все ограниченные величины времени и пространства, а также все силы ограниченных субстанций, следовательно, в сущности, все величины, определениe которых для нас наиболее важно. Я требую только, чтобы эти величины, в случае, если они переменные, но не произвольные переменные, а зависящие от одной или нескольких других величин, имели свои производные (une fonction derivee, по определeнию Lagrange'a), если не для всех значений определяющих величин, то, по крайней мере, для тех значений, к которым исчисление должно быть приложено. Другими словами, если х одна из произвольно изменяющихся величин, a y=fx, зависящая от нее величина, и если наше исчисление должно дать правильный результат для всех значений, содержащихся между х = а и х = b, то у должно зависеть от х таким образом, чтобы для всех значений х, содержащихся между а и b, частное

Δy
–––
Δx

f(x+Δx) - fx
–––––––––
Δx

получаемое от деления приращения у на соответствующее ему приращение х, подходило бы к постоянной или к зависящей только от x величине f′x сколь угодно близко, если только Δx будет взято достаточно малым; затем оставалось бы столь близким или приближалось бы еще больше, если Δx будет еще уменьшено⁷).
Если дано уравнение между х и у, то очень легким и известным делом является нахождение производной от у. Если, например,

то для каждого Δx, которое лишь неравно нулю, имеем:

откуда, следуя известным правилам, получим:

(3)

Δy
–––
Δx

2ax + aΔx
–––––––––––––––––
3y² + 3yΔy + Δy²

2ax
–––
3y²

3ay²Δx - 6axyΔy - 2axΔy²
––––––––––––––––––––
9y⁴ + 9y³Δy + 3y²Δy²

Искомая же производная функция от функции у или (по обозначению Lagrange'а) у' будет

т.е. функция, которая получается из выражения

Δy
–––
Δx

если после надлежащего его преобразования, состоящего в том, что мы в числителе и знаменателе отделим члены умножаемые на Δx или на Δу от остальных членов, т. е. придадим ему вид

2ax + aΔx
–––––––––––––––––
3y² + 3yΔy + Δy²

и положим Δx и Δy = 0.
Мне незачем говорить о том, в сколь многих отношениях полезно нахождение этих производных; а также, каким образом вычисляется с помощью этих производных каждое конечное приращение у, соответствующее конечному приращению х, и каким образом, если дана, наоборот, только производная f'x, может быть определена первоначальная функция fx до постоянной.
Но так как мы получаем (что и было только что замечено) производную функцию зависимой величины у в отношении к ее переменной х, полагая Δx и Δy = 0 в выражении

Δy
–––
Δx

после того, как оно преобразовано таким образом, что ни Δx, ни Δy не являются нигде делителями, то можно с удобством представить производную с помощью такого изображения, как dy/dx, если мы при этом скажем, что, с одной стороны, все Δx, Δy, являющиеся в преобразованном выражении Δy/Δx, или написанные вместо них dx, dy, должны быть рассматриваемы и употребляемы, как простые нули; и что, с другой стороны, на dy/dx следует смотреть не как на частное, а только как на символ производной от y по x.
Ясно, что подобный прием не заслуживает ни в каком случае упрека в том, что при употреблении его рассматриваются отношения между величинами, которые вовсе не существуют (нуля к нулю), так как под этим изображением ничего другого, кроме простого знака, не разумеют.
Далее, так же безупречным будет и то, что мы обозначим через d²y/dx² вторую производную от y по x, т.е. ту, зависящую только от x (или может быть и постоянную) величину, к которой частное

Δ²y
–––
Δx²

подходит сколь угодно близко, если только взять Δx произвольно малым, и будем понимать это таким образом, что величины Δx, Δ²y, являющиеся в разложении Δ²y/Δx², мы будем рассматривать и употреблять как простые нули; в изображении же d²y/dx² мы будем видеть не деление нуля на нуль, но только символ функции, в которую обращается разложение Δ²y/Δx² после указанного изменения.
Предполагая, что символы dy/dx, d²y/dx² . . . имеют эти значения, мы можем строго доказать, что для каждой переменной

y = fx, зависящей определенным образом от произвольной переменной x, за исключением лишь известных изолированных значений x и Δx, имеет место уравнение:

f(x + Δx) = fx + Δx •

dfx
–––
dx

Δx²
–––––
1 • 2

•

d²fx
–––
dx²

Δx³
––––––
1 • 2 • 3

•

d³fx
–––
dx³

+ . . . . +

Δxⁿ
––––––––––––
1 • 2 • . . . • n

•

dⁿf(x +μΔx)
–––––––––––––
dxⁿ

где μ<1.⁸)
Всем известно, сколь много важных истин общего учения о величинах (особенно так называемого высшего анализа) может быть обосновано с помощью этого одного равенства. Но и в прикладном учении о величинах, в учении о пространстве (геометрии), в учении о силах (статике, механике и т. д.) это уравнение открывает путь к решению труднейших задач, например, к спрямлению линии, к вычислению величины поверхностей, объемов тел, без предположения о существовании бесконечно малых, которое здесь составляло бы противоречие, и без помощи какой-либо так называемой аксиомы, как например, известной аксиомы Архимеда и многих других.
Но если возможно установить уравнение такого рода, как например, формула для спрямления кривых в прямоугольной системе координат

^1/2

в выше изложенном значении, то будет также возможно, без опасения ошибки, написать уравнения, подобные следующим:

или, если r означает радиус круга кривизны для линии одной кривизны:

r = –

ds³
–––––––
d²y • dx

;

и много других, в которых мы не рассматриваем знаки dx, dy, dz, ds, d²y и т. д., как знаки действительных величин, а считаем их, напротив того, равнозначными нулю. При этом мы рассматриваем все уравнение, только как такое соединение знаков, которое при производстве над ним преобразований, установленных правилами алгебры для символов действительных величин (здесь, следовательно, также деление на dx и т. п.), никогда не дает неправильного результата в том случае, когда окажется возможным освободить обе части уравнения от dx, dy и т. д.
Легко понять, что это действительно справедливо и что иначе и быть не может. Потому что, если уравнение

^1/2

правильно, то как же могло бы быть неправильным уравнение

из которого, по только что упомянутому способу, можно сейчас же вывести первое.
Легко, наконец, понять, что не будет ошибки, если мы в каком-нибудь уравнении, заключающем в себе знаки dx, dy, . . . с самого начала выбросим для сокращения все те слагаемые, о которых мы наперед точно знаем, что они исчезают в конце вычислений, как равнозначные нулю. Так, если, например, мы получили после некоторых вычислений вытекающее из равенств 1 и 2 уравнение

которое, при переходе к символам равнозначным нулю, принимает вид

то мы можем тотчас же заметить, что слагаемые, которые заключают высшие степени dy², dy³, dx², во всяком случае исчезнут в конце концов ; поэтому можно сразу положить

откуда немедленно получается искомая производная от у по х

В заключение скажем кратко, что весь этот прием основывается на положениях, совершенно подобных тем, которые служат основанием исчисления так называемых мнимых величин (которые, также как наши dx, dy . . . , суть только простые символы) или найденного в последнее время сокращенного метода деления и других подобных сокращенных методов вычислений. Здесь именно так же, как и там, для оправдания употребляемого приема, достаточно придавать вводимым символам (dx, dy/dx, d²y/dx², . . .

, (

)³,

, и т.п.) только такие значения и производить над ними только такие преобразования, чтобы каждый раз, когда в конце появятся, вместо беспредметных символов, символы, обозначающие настоящие величины, обе части уравнения были действительно равны между собою.

§ 38.

          Если мы обратимся к прикладной части учения о величинах, то мы встретим первые парадоксы в области учения о времени в самом понятии о времени, особенно, поскольку оно должно быть непрерывным протяжением. Но столь известные уже с древних времен кажущиеся противоречия, которые считались содержащимися в понятии о непрерывном протяжении, континууме, тяготеют равным образом на протяжении времени, пространства и даже материи, поэтому мы и будем рассматривать их одновременно.
          Конечно, было замечено, что все протяженное, по самому своему понятию, должно состоять из частей; заметили далее, что невозможно объяснить без ложного круга существование протяженного составлением его из частей, которые сами имеют протяжение, но, тем не менее, усматривалось также противоречие в предположении, что протяженное происходит от соединения частей, не имеющих протяжения, безусловно простых (точек во времени или в пространстве, атомов, т.е. простых субстанций, во вселенной в области действительности).
          На вопрос, что представляется в этом последнем объяснении странным, отвечали одно из двух: или, что свойство, которое не принадлежит ни одной из частей, не может принадлежать целому, или же, что между любыми двумя точками, как во времени, так и в пространстве, и точно также между любыми двумя субстанциями, существует всегда некоторое разстояние, так что они не могут образовать континуума.
          Но, чтобы заметить несообразность этих возражений, действительно, нет надобности в долгих размышлениях. Если части не обладают некоторым свойством, то должно ли оно также отсутствовать в целом? Наоборот, каждое целое имеет, и должно иметь, много свойств, которые не принадлежат частям. Автомат имеет свойство подражать почти до неузнаваемости движениям живого человека; отдельные же его части, пружины, колеса и т.д. лишены этого свойства.—Что любые две точки времени отделены одна от другой бесконечным множеством точек, лежащих между ними; что между любыми двумя точками пространства тоже лежит бесконечное множество точек; что даже в области действительности между любыми двумя субстанциями существует еще бесконечное множество других субстанций,—со всем этим, конечно, следует согласиться,—но вытекает ли отсюда следствие, заключающее в себе противоречие? Отсюда следует только то, что две точки, три, четыре, любое конечное множество точек не образует еще протяжения. Со всем этим согласны и мы; мы даже признаем, что и бесконечного количества точек не всегда достаточно для того, чтобы образовать континуум, например, самую короткую линию, если эти точки не имеют надлежащего распределения. А именно, если мы попытаемся уяснить себе понятие, которое мы называем непрерывным протяжением, или континуумом, то мы принуждены будем признать, что континуум существует там, и только там, где имеется совокупность простых предметов (точек во времени или в пространстве или субстанций), расположенных таким образом, что каждый из них на каждом, сколь угодно малом, расстоянии, имеет, по крайней мере. один соседний с ним предмет. Если это не имеет места, если, например, в данной совокупности точек в пространстве найдется хотя бы одна только точка, которая окружена соседними точками не настолько плотно, чтобы на каждом достаточно малом расстоянии находилась соседняя точка, то мы скажем, что эта точка уединенная (изолирована), и что эта совокупность именно поэтому не представляет совершенного континуума. Если же, напротив того, в данной совокупности точек нет ни одной точки в этом смысле изолированной, следовательно, если для каждой из них на каждом сколь угодно малом расстоянии существует, по крайней мере, одна соседняя точка, то нет никаких оснований не назвать этой совокупности континуумом. Иначе чего же еще мы станем требовать?
          «Должно требовать того», возражают нам, « чтобы каждая точка соприкасалась непосредственно с другой». Но в таком случае ставится очевидно невозможное требование, заключающее в себе явное противоречие. В самом деле, когда же можно сказать, что две точки соприкасаются? Быть может тогда, когда граница одной точки (скажем, правая ее сторона) совпадает с границей другой (скажем, с ее левой стороной)? Но ведь точки— простые части пространства: они, следовательно, не имеют никаких границ, никакой правой и левой стороны. Если бы одна точка имела только одну часть, общую с другой, то она совпадала бы с этой точкой; а если одна из них имеет нечто отличное от другой, то они обе должны лежать совершенно отдельно и, следовательно, между ними должно быть место еще для одной точки, даже для бесконечного количества точек, так как для этой средней точки, при сравнении ее с другими точками, справедливо то же самое.
           «Но это все», говорят, «недоступно пониманию!» Конечно, этого нельзя ни осязать, ни воспринять с помощью зрения, но это познается умом и познается как нечто, что должно быть именно так и не может быть иначе, так что противоречие может появится только в случае, если представлять себе это иначе, т.е. неправильно.
          Однако, на это скажут еще: «Слишком трудно представить себе в самой малой линии скопление бесконечно многих точек, даже бесконечное множество этих скоплений, как это приходится делать, следуя обыкновенному учению! Ведь мы должны быть в состоянии разложить самую малую линию еще на бесконечное множество других линий, разлагая ее сперва на две половины, потом эти половины опять пополам и так без конца!». Во всей этой совокупности мыслей я не нахожу ничего ни ошибочного, ни странного, за исключением одного только выражения: самой малой линии. Это выражение, встречаемое у многих, можно объяснить только недостатком внимания, так как самая малая линия вовсе не существует и не может существовать, и именно о рассматриваемых здесь линиях было сказано, что они могут быть разложены еще на меньшие. Каждое бесконечное многообразие, не только многообразие точек, образующих линию, может быть разложено на части, которые сами заключают бесконечные многообразия, даже на бесконечное число таких частей. Действительно, если

означает бесконечное многообразие, то

_/₂,

_/₄,

_/₈, . . . также будут бесконечными многообразиями. Это заключается в понятии бесконечного.
Удовлетворившись после продолжительного обсуждения представленными объяснениями, нам могут сказать наконец: «Как же истолковать объяснения тех математиков, которые говорят, что протяженное не может быть составлено никаким, даже самым большим. накоплением точек и не может быть разложено на простые точки, как бы ни было велико множество частей, на который мы его разлагаем». Строго говоря, с одной стороны, следовало бы, конечно, учить, что конечное множество точек не составит никогда протяжения, бесконечное же множество непременно составит его, но только тогда, когда будет выполнено уже многократно упомянутое условие, а именно, чтобы для каждой точки существовали известные соседние точки на каждом достаточно малом расстоянии. При этом, с другой стороны, следовало бы признать, что не всякое разложение данного протяжения на части приводит к простым частям, а именно, этого не достигает никакое разложение на такие части, которых многообразие конечно; далее, этого достигает даже не всякое такое разложение, которое простирается в бесконечность (например, посредством последовательного деления пополам), как мы видели раньше. Тем не менее, следует настаивать на том, что каждый континуум не может произойти в конце концов ни из чего другого, кроме точек, и только точек. При правильном понимании одно согласуется с другим вполне хорошо.

§ 39.

          Можно было наперед предугадать, что несомненные трудности представятся при рассмотрении свойств того особенного непрерывного протяжения, которым является время. Учение о времени должно было представлять благодарную почву, особенно для тех философов, которые, подобно скептикам, прилагали старания не к тому, чтобы уяснить человеческие понятия, а к тому, чтобы их запутывать, находя в них всюду кажущиеся противоречия. Здесь мы будем касаться только важнейших пунктов этого вопроса, тем более, что не все, относящееся сюда, касается понятия о бесконечности.
          Поставлен был вопрос, представляет ли время нечто реальное и, если это так, то будет ли оно субстанцией или атрибутом и, в первом случае, если оно представляет из себя субстанцию, то какою она будет, сотворенною ли или несотворенной? Рассуждали так: «если время — субстанция, сотворенная, то оно должно было иметь начало, а также будет иметь конец; следовательно, оно должно изменяться, а потому должно нуждаться в другом времени, в течение которого оно бы изменялось. Еще несообразнее считать время самим Богом или находящимся в нем атрибутом. Противополагают, конечно, время вечности, но что же такое вечность? Каким образом возможно, чтобы бесконечное многообразие не только мгновений, но и целых промежутков времени заключалось в одном только, сколь угодно коротком, промежутке, например, в одном мгновении ока, каждая часть которого также носить название мгновения? На самом деле (говорят наконец) нет никакого времени. Ибо, прошедшего времени, очевидно, уже нет, именно потому, что оно прошло; будущего еще нет, так как оно еще будет; что же касается настоящего, то это ничто иное, как простое мгновение в самом строгом значении этого слова, мгновение, не имеющее продолжительности, которое, следовательно, не может иметь претензий на имя времени».
          По моим понятиям, время, без сомнения, не представляет ничего действительного в собственном значении этого слова, при чем действительность приписывается только субстанциям и их силам. Я не считаю поэтому времени ни Богом, ни созданной субстанцией, ни атрибутом Бога или какой-нибудь созданной субстанции, или совокупности нескольких субстанций. Поэтому самому оно не есть нечто переменное, оно, напротив того, есть то, в чем происходят все изменения. Если высказывают противоположное, как например, в поговорке: «времена меняются», то, как мы уже ранее говорили, здесь под временем подразумевают лишь находящиеся в нем вещи и их состояния. Желая объяснить ближе, что такое время, мы должны сказать, что оно есть то «определение», присущее всякой зависимой (или, что тоже самое, переменной) субстанции, представление, о котором мы должны присоединить к представлению этой субстанции для того, чтобы из двух противоречащих друг другу свойств b и не-b одно могло быть ей правильно приписано, а другое отвергнуто. Точнее говоря, упомянутое здесь «определение» есть только одна простая часть времени, точка времени или мгновение, в котором мы должны себе представить субстанцию x, которой мы желаем приписать с достоверностью одно из противоречащих свойств b и не-b, так что наше суждение должно быть, собственно, выражено следующим образом: x в точке времени t имеет или свойство b или не-b. Если только читатель согласится со мною в правильности этого определения понятия о мгновении, то я могу представить отчетливое объяснение того, что такое само время, а именно: что такое все время или вечность, т. е. то целое, для которого все мгновения суть лишь части. Всякое конечное время, т.е. каждый заключенный между двумя данными мгновениями промежуток времени или продолжительность времени, я определяю, как совокупность всех мгновений, заключенных между этими двумя крайними мгновениями. Согласно этим определениям, нет никакой разницы между временем и вечностью, если подразумевать под временем, как это часто бывает, не ограниченное, конечное время, а все время, бесконечное в обоих направлениях. Но есть большая разница в способе, как пребывает в этом времени Бог и переменные или созданные существа. Созданные существа пребывают во времени, изменяясь в нем, Бог же во все времена неизменно тот же. Это и подало повод называть его одного вечным, прочие же существа, его создания — временными существами. — Представить себе в чувственном образе, что каждое, даже самое короткое, мгновение, как например, один миг, заключает уже бесконечное множество целых промежутков времени, это — задача, конечно, трудная для нашего воображения. Довольно и того, что мы понимаем это умом и признаем, что иначе оно и не может быть. Из указанного здесь понятия о времени можно вывести и объективное его основание, но изложение этого здесь было бы слишком пространным. Несообразно было бы только утверждать, что в коротком промежутка времени заключается такое же множество мгновений, как и в более длинном, или что бесчисленные промежутки времени, на которые можно разложить данный промежуток, имеют ту же длину, как и в каком-либо более длинном промежутке времени.
          Наконец, то ошибочное заключение, с помощью которого предполагают совершенно уничтожить реальность понятия о времени, представляется столь простым, что едва ли требует опровержения. Мы ведь признаем, что времени вообще не существует, и потому, конечно, нет ни прошедшего, ни будущего времени, так как нет даже настоящего, но каким образом может отсюда следовать, чтобы время представляло собою ничто? Ведь предложения и истины сами по себе составляют нечто, хотя никому не придет в голову утверждать, что они представляют нечто существующее, если не смешивать их с их пониманием в сознании мыслящего существа т.е. с действительными мыслями и суждениями?

§ 40.

          Относительно парадоксов в учении о пространстве известно, что и для пространства также не найдено определения. Часто принимали его за нечто существующее, то смешивая его с субстанциями, которые в нем находятся, то считая его даже самим Богом или, по крайней мере, атрибутом божества. Даже великому Ньютону пришла мысль определить пространство, как сензорий божества. Другие полагали, что движутся не только субстанции, находящиеся в пространстве, но и само пространство, так что меняются места мест. Далее, во времена Декарта, провозглашали, как новое открытие, мысль, что в пространстве находятся не все, а только, так называемые, чувственные субстанции, пока наконец не пришла Канту неудачная мысль, которую многие еще теперь за ним повторяют, не считать пространство ничем объективным, а только (субъективною) формою нашего воззрения. Далее был поставлен вопрос. не имеют ли другие существа иного пространства, например, пространства о двух или о четырех измерениях. Гербарт, наконец, хотел одарить нас двойным неподвижным и непрерывным пространством и точно также двойным временем. Обо всем этом я уже высказывал свое мнение в других местах.
          Для меня пространство, подобно времени, не есть свойство субстанций, а только некоторое к ним относящееся определение, а именно: те определения в созданных субстанциях, которые дают основание того, что, владея своими свойствами, они вызывают в известное время одна в другой определенные изменения, я называю местами, на которых эти субстанции находятся; совокупность же всех мест я называю пространством, целым пространством. Это определение дало мне возможность вывести объективно учение науки о пространстве из учения о времени, например, показать, что пространство имеет три измерения, и почему это так и многое другое.
          Парадоксы, которые были найдены уже в самом понятии о пространстве, в той предметности, которая ему присуща, несмотря на то, что оно не представляет ничего действительного, в бесконечном множестве его частей и в непрерывности целого, которое они образуют, несмотря на то, что даже никакие две из этих частей (точек) не соприкасаются непосредственно между собою,—эти кажущиеся противоречия я не считаю нужным еще рассматривать и думаю, что вправе считать их разъясненными.
          Первое, что требует еще более близкого освещения, это, конечно, понятие о величине пространственного протяжения. Не подлежит сомнению, что всякое протяжение имеет величину. Все согласны также в том, что величины, встречающиеся как в одном измерении времени, так и в трех измерениях пространства, могут быть определены только с помощью своего отношения к одной величине, выбранной произвольно за единицу меры, и что это протяжение, принятое за единицу, должно быть однородно с теми протяжениями, которые будут измеряемы, т. е. должно быть для линии — линией, для поверхностей — поверхностью, для тел — телом.⁹)
          Если же мы спросим теперь, в чем собственно состоит то, что мы называем величиной пространственного протяжения, то, принимая во внимание, что такое протяжение состоит только из точек, расположенных по известному правилу, и что при суждении о величине принимается в расчет не порядок частей, а только их множество, можно было бы легко прийти к заключена, что под величиной каждого протяжения мы подразумеваем именно это самое множество точек, на что, по-видимому, указывает и самое имя, когда мы называем величину поверхности или тела содержанием этих протяжений. Но ближайшее рассмотрение показывает, что это не так. Иначе как же мы могли бы принять, (а мы это делаем, однако, всегда и не задумываясь), что величина протяжения, например, куба, нисколько не изменится, присчитаем ли мы к его содержанию и границу его, т.е. поверхность куба (которая и сама имеет уже известную величину) или нет? А таким образом мы поступаем бесспорно. когда мы находим, например, что величина куба, которого ребро равно 2, в восемь раз больше, чем величина куба, ребро которого = 1, несмотря на то, что первый куб имеет на 12 квадратных боковых сторон величиной в 1 меньше, чем восемь последних, ибо, при соединены меньших кубов в один больший. из тех 24 квадратов, которые попадают внутрь большего куба, половина отбрасывается.¹⁰) Отсюда вытекает, что под величиной пространственного протяжения, будет ли это линия, плоскость или тело, мы подразумеваем не что иное, как величину, которая выводится из протяжения, принятого за единицу и однородного с измеряемым протяжением, по закону, удовлетворяющему следующему требованию: если мы нашли, следуя этому закону, для куска М величину m и для куска N величину n, то мы найдем по тому же закону для протяжения, происходящего от соединения кусков M и N, величину m+n, будем ли при этом принимать в расчет границы, которые имеют куски M и N и составленное из них целое M + N, или нет. Из этого понятия могут быть выведены самые общие формулы, которые дает наука о пространстве для спрямления, вычисления поверхностей и объемов, при чем не приходится прибегать ни к какому другому предположению, в том числе и к предложениям, ложно названным основными предложениями Архимеда. Справедливость этого утверждения доказана в работе, упомянутой в параграфе 37.¹¹)

Примечания
⁶) Очень охотно уступаю Г. М. Ohm'y заслугу, заключающуюся в том, что он первый обратил внимаше математиков (в своем очень ценном «опыте вполне последовательной системы математики»— «Versuch eines vollkommen consequenten System der Mathematik») на трудности понятия о нуле. назад к тексту6

⁷) Можно доказать, что все зависимые переменные величины, если только они вообще определимы, должны следовать этому закону в такой мере, что исключения могут встречаться, если и в безконечном множестве, всегда однако только для изолированных значений их произвольных переменных. назад к тексту7

⁸) Доказательство этого предложения для всякого рода зависимости переменной y от x, будет ли эта зависимость известной и выражаемой при помощи известных до настоящаго времени знаков, или нет, —давно уже написано автором и, быть может, будет вскоре опубликовано. Примеч. издателя назад к тексту8

⁹) При этом случае некоторые, быть может, охотно прочтут определение этих трех видов пространственного протяжения. Если признать правильным определение протяжения вообще, данное в параграфе 38 (а это определение имеет то достоинство, что его можно легко распространить на те из величин, рассматриваемых в общем учении о величинах, которые называются непрерывно переменными), то я говорю, что нечто пространственно протяженное будет просто протяженным, или линией, если каждая его точка на каждом достаточно малом расстоянии имеет одну или больше соседних точек, но никоим образом, не так много чтобы совокупность их сама по себе составляла уже протяжение; я говорю дальше, пространственное протяжение будет протяжением двух измерений или поверхностью, если каждая точка на каждом достаточно малом расстоянии имеет целую линию соседних точек; я говорю наконец, что пространственное протяжение будет протяжением трех измерений, или телом, если каждая точка на каждом достаточно малом расстоянии имеет целую поверхность соседних точек. назад к тексту9

¹⁰) Куб, ребро которого равно 2, рассекается 3-мя плоскостями, соответственно параллельными его граням, на 8 кубов. Полная поверхность рассеченного куба вместе с суммой площадей сечения равна 36. Сумма полных поверхностей 8-ми составляющих кубов = 48; 48 —36 = 12. (Прим. ред.) назад к тексту10

¹¹) В параграфе 37 нет однако упоминания о какой-либо работе. Автор, очевидно, имеет в виду появившуюся в 1817 году работу:«Die drei Probleme der Rectification, der Complanation und der Cubirung, ohne Betrachtung des unendlich kleinen, ohne der Anname des Archimedes und ohne irgend einer nicht streng erweislichen Voraussetzung gelost, zugleich als Probe einer ganzlichen Umstaltung der Raumwissenschaft, alien Mathematikern zur Prüfug vorgelegt. (Прим. ред.)  назад к тексту11