Бернард Больцано, ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО

Б. Больцано, Парадоксы бесконечного, параграфы 21-30

§ 21.

Только на том основании, что два многообразия A и B находятся друг к другу в таком отношении, что к каждой части a, находящейся в A, поступая по известному правилу, мы можем найти находящуюся в B часть b, так, что все пары (a + b), которые мы составим таким образом, заключают в себе каждую вещь, находящуюся в A и в B и заключают ее только по одному разу, – на одном этом основании невозможно еще заключить, как видим, что эти оба многообразия, если они бесконечны равны друг другу в отношении множества своих частей (т.е. если мы не примем во внимание никаких других различий между частями). Однако, несмотря на это отношение между ними, которое само по себе, во всяком случае, представляется одинаковым для обоих многообразий, они могут находиться в отношении неравенства своих множеств, так что одно из них может представлять целое, а другое – его часть. О равенстве этих множеств можно будет заключить только тогда, когда для этого будет существовать еще какое-нибудь другое основание, как, например, то, что оба многообразия имеют совершенно одинаковые определяющие их основания, например, совершенно одинаковое происхождение.

§ 22.

Парадоксальность, связанная (чего я вовсе не отрицаю) с этим утверждением, проистекает единственно из того обстоятельства, что взаимное отношение, которое мы находим в двух сравниваемых между собою многообразиях, и которое состоит в том, что мы можем соединить их части в пары по способу, уже многократно указанному, – что это взаимное отношение в том случае, когда эти многообразия конечны, совершенно достаточно для того, чтобы признать их вполне равными в отношении множества их частей. Действительно, два конечных многообразия такого свойства, что для каждой вещи a одного многообразия можно найти вещь b в другом и соединить их в пары таким образом, чтобы не осталось ни одном из обоих многообразий ни одной вещи, для которой не нашлось бы соответствующей в другом, и чтобы не было ни одной вещи, которая бы входила в две или несколько пар, – два таких многообразия в отношении множества всегда равны между собой. Поэтому кажется, что то же должно иметь место, если многообразия будут бесконечны.
00104Так кажется, говорю я; но при ближайшем рассмотрении обнаруживается, что это вовсе не является необходимым, так как основание, почему это всегда так во всех конечных многообразиях, заключается, именно, только в конечности их и, следовательно, отпадает для многообразий бесконечных. Действительно, положим, что два многообразия A и B конечны или (так как и этого уже достаточно), что мы знаем об одном из них A, что оно конечно, и, положим также, мы не обращаем внимания ни на какие различия между вещами их составляющими, с целью рассмотреть эти многообразия только в отношении их множеств. Тогда, обозначив любой предмет в многообразии A через 1, и какой-нибудь другой через 2 и продолжая таким образом дальше, то есть, обозначая каждый последующий всегда числом вещей, рассмотренных раньше (со включением его самого), мы должны будем дойти наконец до предмета в A, после обозначения которого не останется больше ни одного, не обозначенного. Это есть непосредственное следствие понятия о множестве конечном или исчислимом. Если этот последний предмет в A, о котором мы только что говорили получил для своего обозначения число n, то число вещей в A будет равно n. Так как для каждой вещи в A должна находиться вещь в B, которую можно соединить с ней в пару, то, обозначив каждую вещь в B тем самым символом, которым обозначили в A ту вещь, с которой вещь B соединяется в одну пару, мы необходимо должны прийти к тому, что число вещей взятых нами таким образом из B, также будет равно n, при чем каждая из них снабжена знаком, дающим возможность узнать, сколько мы до нее употребили вещей. Отсюда ясно, что в B вещей не меньше чем n, ибо этим знаком отмечена одна вещь (та, которую мы употребили последней). Но их также будет и не больше, потому что, если бы была хотя еще одна сверх уже употребленных, то не было бы такой вещи в A, с которой можно было бы соединить ее в пару, – а это противоречит предположению. Итак, число вещей в B не меньше и не больше, чем n, следовательно, равно n. Оба многообразия имеют, значит, одно и то же множество, или, как еще можно выразиться, равное множество. Очевидно, что это заключение не имеет места, как только многообразие вещей в A бесконечно, потому что в таком случае не только мы, считающие, не дойдем никогда до последней вещи в A, но, по определению бесконечного многообразия, такая последняя вещь в A сама по себе не существует, т.е. сколько бы мы не означали вещей в A, все еще останутся другие для обозначения. Поэтому, несмотря на то, что в многообразии B никогда не будет недостатка в вещах, которые могли бы быть соединены все в новые и новые пары с вещами многообразия A, исчезнет, однако, всякое основание к заключению, что множество обоих многообразий одно и тоже.

§ 23.

Из сказанного только что ясно, что для бесконечных многообразий исчезает основание, обуславливающее необходимое равенство конечных многообразий, как только имеет место то отношение, о котором мы много раз говорили. Но сказанное не указывает нам, каким образом и вследствие чего является неравенство в бесконечных многообразиях. Это становится ясным только после рассмотрения приведенных примеров. Они именно учат нас тому, что взятые из сравниваемых многообразий две части a и b, которые мы соединяем в пару a + b, входят в свои многообразия не вполне одинаковым образом. В самом деле, если части a' и b' образуют еще одну вторую пару, и если мы сравним отношения, в которых находятся a и a' в многообразии A, b и b' в многообразии B, то тотчас же окажется, что эти отношения различны. Если мы возьмем (в первом примере) из многообразия величин, содержащихся между 0 и 5, совершенно произвольно, две величины, например, 3 и 4, то величины, соответствующие им в B (т.е. образующие с ними пары), будут следующие:

(¹²/₅)*3 и (¹²/₅)*4, т.е. 7¹/₅ и 9³/₅ .
Если мы правильно понимаем под отношением двух предметов совокупность всех свойств, обнаруживающихся при их соединении, то при рассмотрении отношения, в котором находятся в одном многообразии части 3 и 4, в другом – части 7¹/₅ и 9³/₅ , мы должны обратить внимание не только на так называемое геометрическое отношение, но и на все, сюда относящееся, а именно также и на то, что арифметическое отношение между величинами 3 и 4 совершенно иное, чем между величинами 7¹/₅ и 9³/₅ , а именно – первое равно 1, второе 2²/₅. Итак, хотя каждая величина в A или в B может соединиться в пару с одной, и только с одной, величиной в B или в A, но однако множество величин в B иное (больше), чем в A, потому что расстояние между двумя любыми величинами в B будет иным (больше), чем расстояние, разделяющее две соответствующие им величины в A. Отсюда, естественно, следует, что в промежутке каждых двух величин в B содержится другое (большее) количество величин, чем это имеет место в A; таким образом, нет ничего удивительного, что и все количество величин в B другое (больше), чем в A. – Во втором примере мы имеем случай совершенно сходный с первым; поэтому мы скажем о нем только то, что точки в ab, составляющие пары с точками в ac, стоят друг к другу ближе, чем соответственные точки в ac, так как разстояние любых двух точек первого отрезка всегда относится к разстоянию соответственных двух точек второго отрезка как ab:ac.

§ 24.

Если мы можем считать теперь вполне доказанным и разъясненным предложение §20, то ближайшим следствием его является то, что мы не можем считать сейчас же равными две суммы величин, которые попарно равны (т.е. каждая величина из одной суммы равна некоторой величине из другой), если множество их бесконечно. Это возможно лишь в том случае, когда мы заранее убедились в том, что бесконечное множество этих величин в обеих суммах то же самое. Что сумма определяется своими слагаемыми и что, следовательно, равные слагаемые дают равные суммы, это конечно бесспорно и имеет место не только тогда, когда многообразие этих слагаемых конечно, но и тогда, когда оно бесконечно. Но, так как бесконечные многообразия бывают различны, то в последнем случае должно быть также доказано, что бесконечное многообразие слагаемых в одной сумме в точности таково же, как и в другой. Но, чтобы иметь право сделать это заключение, недостаточно ни в каком случае, по нашей теореме, только того обстоятельства, что можно будет найти по какому-нибудь способу для каждого члена одной суммы равный ему член другой суммы. Мы можем сделать это заключение с полной уверенностью только тогда, когда оба эти многообразия имеют одинаковые определяющие их основания. Впоследствии мы увидим на нескольких примерах, к каким несообразностям можно прийти при вычислениях с бесконечностями, если не принять этого в расчет.

§ 25.

Я обращаюсь теперь к утверждению, что существует бесконечное не только среди вещей, не имеющих действительности, но также и в самой области действительного. Кто только пришел к чрезвычайно важному убеждению (с помощью ли ряда заключений из истин, касающихся чистых понятий, или другим каким-либо образом), что существует Бог, существо, не имеющее причины своего бытия ни в каком другом существе и, вследствие этого, всесовершенное, т.е. соединяющее в себе все совершенства и силы, которые только могут совмещаться, и каждую из них в самой высшей степени, в какой только она может существовать наряду с другими – кто пришел к этому убеждению, тот принимает уже этим самым, что есть существо бесконечное не в одном только отношении, в своем ведении, в своей воле, в своем внешнем воздействии, т.е. могуществе, такое существо, которое бесконечно много знает (совокупность всех истин), бесконечно многого желает (сумму всего в себе возможного добра), и все, чего только хочет, силою внешнего воздействия осуществляет в действительности. Из этого последнего свойства Бога вытекает дальнейшее следствие, что, кроме него, существует существа созданные, которые мы назовем, в противоположность ему, существами конечными, в которых, однако, можно усмотреть нечто бесконечное. В самом деле, уже самое многообразие этих существ должно быть бесконечным; точно так же многообразие состояний, испытываемых каждым из этих существ в отдельности, хотя бы в самое короткое время, должно быть бесконечно (потому что каждый промежуток времени содержит в себе бесконечно много мгновений) и т.д. Итак, и в области действительного мы встречаем везде бесконечное.

§ 26.

Не согласны с этим, однако, многие из тех ученых, которые не находят возможным отрицать бесконечность в вещах недействительных (как, например, в предложениях и истинах в себе). Допустить бесконечность также и в области действительного, это, по их мнению, запрещается древним основным положением, по которому все действительное должно иметь полную определенность. Однако, я считаю уже доказанным в «Wissenschaftslehre» (Bd. 1 § 45), что это основное положение относится и к предметам недействительным в том же смысле, как и к действительным. Оно справедливо везде только в том смысле, что из двух противоречащих друг другу свойств у каждого предмета одно должно ему принадлежать, а наличность другого должна отрицаться. Поэтому, если бы утверждение, что мы совершаем погрешность против этого положения, допуская бесконечность вещей действительных, было обосновано, – мы бы не имели права говорить о бесконечности даже в случае недействительных объектов нашего мышления, следовательно, мы бы не могли допускать бесконечного многообразия истин в себе или простых чисел. Но тем только, что мы признаем нечто бесконечным, мы не противоречим еще вышеприведенному основному положению. Мы говорим только, что в данном предмете, в известном отношении, существует множество частей большее, чем какое угодно число, следовательно, во всяком случае, такое множество, которое невозможно определить просто числом. Отсюда, однако, вовсе не следует, чтобы это множество было чем-то, не поддающимся никоим образом определению; вовсе не следует также, чтобы существовала хоть одна пара свойств, противоречащих друг другу, b и не-b, и чтобы ни одно из них не было присуще этому множеству. Что не имеет цвета, например, предложение, не может быть и определено указанием цвета; что не издает никакого тона, не может быть определено указанием тона и т.д. Но отсюда вовсе не следует, чтобы подобные вещи были неопределимы; они и не составляют исключения из того основного положения, что один из предикатов, b или не-b (голубой или неголубой, благозвучный или неблагозвучный и т.д.), относятся к каждой вещи, если только мы эти предикаты понимаем так, как следует, т.е. так, чтобы они остались противоречивыми. Совершенно так, как неголубое и неблаговонное является определением (правда, очень широким) теоремы Пифагора, так и простое указание того, что многообразие точек между m и n бесконечно, является одним из определений этого многообразия. И часто нет надобности во многих данных для того, чтобы вполне определить подобное бесконечное многообразие вещей, т.е. так, чтобы все его свойства сами собой вытекали из тех именно нескольких, которые даны. Так, мы определили самым совершенным образом только что упомянутое бесконечное многообразие точек между m и n, как скоро мы определили только две точки m и n (например, наглядно). Ибо этими немногими словами уже устанавливается дизъюнкция между принадлежностью или непринадлежностью к этому многообразию всякой другой точки.

§ 27.

          Если я имел смелость в предыдущем защищать существование бесконечного в некоторых случаях против лиц, оспаривающих его, то теперь я должен признать с тою же откровенностью, что многие ученые, особенно математики, зашли слишком далеко в сторону противоположную, принимая бесконечно большое и бесконечно малое в таких случаях, когда, по моему глубокому убеждению, не существует ни того, ни другого.
          1. Я не имею ничего возразить против допущения бесконечно большого периода времени, если разуметь под этим период, не имеющий начала или конца, или ни того, ни другого (следовательно, все время или совокупность всех точек времени вообще). Но отношение, которое имеет величина одного расстояния между двумя точками времени, или одного промежутка времени к каждому другому расстоянию между двумя точками времени, или к каждому другому промежутку времени, я нахожу нужным признать только конечным отношением величин, вполне определенным с помощью одних понятий, и потому не нахожу возможным предположить, что промежуток времени, ограниченный началом и концом, в бесконечное число раз меньше или больше другого подобного промежутка. А это именно и делают, как известно, многие математики, говоря не только о бесконечно больших промежутках времени, ограниченных при этом с обеих сторон, но и еще чаще о бесконечно малых частях времени, в сравнении с которыми каждый конечный промежуток времени, например, одна секунда, должен быть признан бесконечно большим.
          2. То же самое следует сказать о расстояниях между двумя точками в пространстве, которые, по моему мнению, могут быть друг ко другу всегда только в отношении конечном (определяемым вполне с помощью чистых понятий). Между тем нет ничего более обыкновенного у наших математиков, как речь о бесконечно больших и бесконечно малых расстояниях.
          3. То же самое следует наконец сказать о принимаемых в метафизике и физике силах, действующих во вселенной. Мы не должны предполагать, чтобы одна из этих сил была в бесконечное число раз больше или меньше, чем другая; напротив того, мы должны думать, что все они находятся между собой в отношениях, вполне определяемых посредством понятий, как бы часто не позволяли себе делать обратное. Я не могу, конечно, с достаточной ясностью указать здесь основание этого утверждения тому, кому не известно, какие понятия я связываю со словами: воззрение и понятие,   выводимость одного предложения из другого, объективный вывод одной истины из других, и многими другими словами, а также определение времени и пространства. Кто, однако, прочел, по крайней мере, две статьи: «Опыт объективного обоснования учения о сложении сил»⁴) и «Опыт объективного обоснования учения о трех измерениях пространства»,⁵) тому не покажется вполне непонятным следующее доказательство.
          Из определения времени и пространства следует непосредственно, что все субстанции зависимые, т.е. созданные, находятся в беспрестанном взаимодействии; а также, что для каждых двух точек времени α и β, как бы близко или далеко они друг от друга не отстояли, возможно рассматривать состояние вселенной в предыдущий момент α, как причину, а состояние вселенной в последующий момент β, как следствие (по крайней мере, не непосредственное), однако постольку, поскольку мы при этом отнесем к причине непосредственное воздействие Бога, которое могло иметь место в промежуток времени αβ. Отсюда следуеn дальше, что раз даны обе точки времени α и β, все силы, которые имели созданные субстанции в точке времени α, места нахождения каждой субстанции, наконец, даны божественные влияния, которые испытала одна или другая из этих субстанций внутри промежутка αβ, – то силы, которые получили эти субстанции в точке времени β, а также места, которые эти субстанции заняли, могут быть выведены таким же образом, как выводится действие (непосредственное или через посредство из своей полной причины. Это же опять требует, чтобы все свойства действия могли быть выведены из свойств причины с помощью составленной из одних чистых понятий большой посылки следующего вида: «каждая причина, обладающая свойствами u, u', u'' . . ., имеет действие, обладающее свойствами w, w', w'' . . . Отсюда легко вывести следствие, нужное для нашей цели: каждое обстоятельство в причине, не безразличное для действия, т.е. обстоятельство такого рода, что при его изменении действие не остается без изменения, должно быть вполне определимо при помощи одних понятий, при чем в основание могут быть положены в крайнем случае лишь такие воззрения, которые также необходимы для определения действия.
          После этих предпосылок легко обосновать выше установленные утверждения. Действительно:
          1. если бы имелись даже только две точки времени α и β, разстояние которых друг от друга было бы в бесконечное число раз больше или меньше чем разстояние двух других точек γ и δ, то отсюда вытекала бы та несообразность, что решительно невозможно было бы определить состояние вселенной, которое должно наступить в момент β, по тому ее состоянию, которое имело место в момент α, если даже принять при этом в расчет божественные влияния за промежуток времени αβ и величину этого промежутка. Далее, для определения состояния, в котором находятся созданные существа, и даже только для определения величины их сил в момент α, необходимо положить в основание особую единицу времени; в самом деле, так как эти силы только силы изменяющие, то мы не можем определить иначе величину их, как приняв во внимание некоторый промежуток данный времени, в течении которого они производят данное действие. Следовательно, если мы примем (имея на это право) промежуток времени γδ за эту единицу времени, то даже в самом благоприятном случае, т.е. если бы возможно было определить при этой единице времени все силы созданных субстанций в точке времени α, и если бы возможно было определить совершенно точно все другое, что составляет полную причину состояния вселенной в точке времени β, то, однако, невозможно было бы, пользуясь этой единицей времени, определить разстояние, в котором находится эта точка времени от α, так как оно оказалось бы бесконечно большим или бесконечно малым. Поэтому, если можно наоборот рассматривать любое состояние вселенной (при несколько раз уже упомянутых выше условиях), как причину любого позднейшего, то не могут существовать две точки времени α и β, разстояние которых было бы бесконечно большим или бесконечно малым в сравнении с разстоянием, в котором находится другая пара γ и δ.
          2. Если бы были даны только две точки в пространстве a и b, расстояние которых друг от друга в сравнении с расстоянием другой пары c и d, оказалось бы бесконечно большим или бесконечно малым, то в определение состояния вселенной в любой точке времени α, входило бы между прочим определение величины силы (например, притяжения или отталкивания), с которой действует в этот момент времени находящаяся в точке a субстанция A на находящуюся в точке b субстанцию B. Это, однако, оказалось бы невозможным для этой силы, если бы мы приняли (что, во всяком случае, позволительно) расстояние cd за единицу, и если бы даже, в самом благоприятном случае, это могло быть сделано для всех прочих сил. В самом, деле, если бы сила притяжения или отталкивания, с которой субстанция A действует на субстанцию, вполне впрочем сходную с субстанцией B, но находящуюся в разстоянии, принятом за единицу длины (cd), имела даже совершенно определенную величину, то, именно вследствии ее определенности, сила притяжения или отталкивания, с которой A действует на B, была бы неопределенной, если бы отношение расстояний ab:cd, от которого она во всяком случае зависит, было бесконечным и потому неопределенным.
          3. Если бы, наконец, была только одна сила k, которая, по сравнению с другой силой l, оказалась бы бесконечно большой или бесконечно малой, и если бы мы обозначили точку времени, в которой имеет место это отношение через α, то для этой самой точки времени в самом благоприятном случае, именно если бы все остальные силы при выбранных для их измерения единицах времени и пространства оказались конечными, причем, следовательно, и l была бы величиной конечной, – величина k, именно вследствие этого, оказалась бы бесконечно большой или бесконечно малой, т.е. неопределимой. Но вследствие этого все состояние вселенной в точке времени α оказалось бы неопределимым; поэтому невозможным оказалось бы вывести позднейшее состояние вселенной как результат действия первого.

§ 27.

          Если я имел смелость в предыдущем защищать существование бесконечного в некоторых случаях против лиц, оспаривающих его, то теперь я должен признать с тою же откровенностью, что многие ученые, особенно математики, зашли слишком далеко в сторону противоположную, принимая бесконечно большое и бесконечно малое в таких случаях, когда, по моему глубокому убеждению, не существует ни того, ни другого.
          1. Я не имею ничего возразить против допущения бесконечно большого периода времени, если разуметь под этим период, не имеющий начала или конца, или ни того, ни другого (следовательно, все время или совокупность всех точек времени вообще). Но отношение, которое имеет величина одного расстояния между двумя точками времени, или одного промежутка времени к каждому другому расстоянию между двумя точками времени, или к каждому другому промежутку времени, я нахожу нужным признать только конечным отношением величин, вполне определяемым с помощью одних понятий, и потому не нахожу возможным предположить, что промежуток времени, ограниченный началом и концом, в бесконечное число раз больше или меньше другого подобного промежутка. А это именно и делают, как известно, многие математики, говоря не только о бесконечно больших промежутках времени, ограниченных при этом с обеих сторон, но и еще чаще о бесконечно малых частях времени, в сравнении с которыми каждый конечный промежуток времени, например, одна секунда, должен быть признан бесконечно большим.
          2. То же самое следует сказать о расстояниях между двумя точками в пространстве, которые, по моему мнению, могут быть друг к другу всегда только в отношении конечном (определяемом вполне с помощью чистых понятий). Между тем нет ничего более обыкновенного у наших математиков, как речь о бесконечно больших и бесконечно малых расстояниях.
          3. То же самое следует наконец сказать о принимаемых в метафизике и физике силах, действующих во вселенной. Мы не должны предполагать, чтобы одна из этих сил была в бесконечное число раз больше или меньше, чем другая; напротив того, мы должны думать, что все они находятся между собой в отношениях, вполне определяемых посредством понятий, как бы часто не позволяли себе делать обратное. Я не могу, конечно, с достаточной ясностью указать здесь основание этого утверждения тому, кому не известно, какие понятия я связываю со словами: воззрение и понятие,   выводимость одного предложения из другого, объективный вывод одной истины из других, и многими другими словами, а также определение времени и пространства. Кто, однако, прочел, по крайней мере, две статьи: «Опыт объективного обоснования учения о сложении сил»⁴) и «Опыт объективного обоснования учения о трех измерениях пространства»,⁵) тому не покажется вполне непонятным следующее доказательство.
          Из определения времени и пространства следует непосредственно, что все субстанции зависимые, т.е. созданные, находятся в беспрестанном взаимодействии; а также, что для каждых двух точек времени α и β, как бы близко или далеко они друг от друга не отстояли, возможно рассматривать состояние вселенной в предыдущий момент α, как причину, а состояние вселенной в последующий момент β, как следствие (по крайней мере, не непосредственное), однако постольку, поскольку мы при этом отнесем к причине непосредственное воздействие Бога, которое могло иметь место в промежуток времени αβ. Отсюда следует дальше, что раз даны обе точки времени α и β, все силы, которые имели созданные субстанции в точке времени α, места нахождения каждой субстанции, наконец, даны божественные влияния, которые испытала одна или другая из этих субстанций внутри промежутка времени αβ, – то силы, которые получили эти субстанции в точке времени β, а также места, которые эти субстанции заняли, могут быть выведены таким же образом, как выводится действие (непосредственное или через посредство) из своей полной причины. Это же опять требует, чтобы все свойства действия могли быть выведены из свойств причины с помощью составленной из одних чистых понятий большой посылки следующего вида: «каждая причина, обладающая свойствами u, u', u'' . . ., имеет действие, обладающее свойствами w, w', w'' . . . Отсюда легко вывести следствие, нужное для нашей цели: каждое обстоятельство в причине, не безразличное для действия, т.е. обстоятельство такого рода, что при его изменении действие не остается без изменения, должно быть вполне определимо при помощи одних понятий, при чем в основание могут быть положены в крайнем случае лишь такие воззрения, которые также необходимы для определения действия.
          После этих предпосылок легко обосновать выше установленные утверждения. Действительно:
          1. если бы имелись даже только две точки времени α и β, разстояние которых друг от друга было бы в бесконечное число раз больше или меньше чем разстояние двух других точек γ и δ, то отсюда вытекала бы та несообразность, что решительно невозможно было бы определить состояние вселенной, которое должно наступить в момент β, по тому ее состоянию, которое имело место в момент α, если даже принять при этом в расчет божественные влияния за промежуток времени αβ и величину этого промежутка. Далее, для определения состояния, в котором находятся созданные существа, и даже только для определения величины их сил в момент α, необходимо положить в основание особую единицу времени; в самом деле, так как эти силы только силы изменяющие, то мы не можем определить иначе величину их, как приняв во внимание некоторый данный промежуток времени, в течении которого они производят данное действие. Следовательно, если мы примем (имея на это право) промежуток времени γδ за эту единицу времени, то даже в самом благоприятном случае, т.е. если бы возможно было определить при этой единице времени все силы созданных субстанций в точке времени α, и если бы возможно было определить совершенно точно все другое, что составляет полную причину состояния вселенной в точке времени β, то, однако, невозможно было бы, пользуясь этой единицей времени, определить разстояние, в котором находится эта точка времени от α, так как оно оказалось бы бесконечно большим или бесконечно малым. Поэтому, если можно наоборот рассматривать любое состояние вселенной (при несколько раз уже упомянутых выше условиях), как причину любого позднейшего, то не могут существовать две точки времени α и β, разстояние которых было бы бесконечно большим или бесконечно малым в сравнении с разстоянием, в котором находится другая пара γ и δ.
          2. Если бы были даны только две точки в пространстве a и b, расстояние которых друг от друга в сравнении с расстоянием другой пары c и d, оказалось бы бесконечно большим или бесконечно малым, то в определение состояния вселенной в любой точке времени α, входило бы между прочим определение величины силы (например, притяжения или отталкивания), с которой действует в этот момент времени находящаяся в точке a субстанция A на находящуюся в точке b субстанцию B. Это, однако, оказалось бы невозможным для этой силы, если бы мы приняли (что, во всяком случае, позволительно) расстояние cd за единицу, и если бы даже, в самом благоприятном случае, это могло быть сделано для всех прочих сил. В самом, деле, если бы сила притяжения или отталкивания, с которой субстанция A действует на субстанцию, вполне впрочем сходную с субстанцией B, но находящуюся в разстоянии, принятом за единицу длины (cd), имела даже совершенно определенную величину, то, именно вследствии ее определенности, сила притяжения или отталкивания, с которой A действует на B, была бы неопределенной, если бы отношение расстояний ab:cd, от которого она во всяком случае зависит, было бесконечным и потому неопределенным.
          3. Если бы, наконец, была только одна сила k, которая, по сравнению с другой силой l, оказалась бы бесконечно большой или бесконечно малой, и если бы мы обозначили точку времени, в которой имеет место это отношение через α, то для этой самой точки времени в самом благоприятном случае, именно если бы все остальные силы при выбранных для их измерения единицах времени и пространства оказались конечными, причем, следовательно, и l была бы величиной конечной, – величина k, именно вследствие этого, оказалась бы бесконечно большой или бесконечно малой, т.е. неопределимой. Но вследствие этого все состояние вселенной в точке времени α оказалось бы неопределимым; поэтому невозможным оказалось бы вывести позднейшее состояние вселенной как результат действия первого.

§ 28.

          Мне кажется, что я установил уже в предыдущем основные правила, которые дадут возможность судить правильно о всех тех странных учениях, которые нам придется изложить ниже, а также решить, следует ли нам отбросить эти учения, как заблуждения или принять их, признав их истинность, несмотря на всю их кажущуюся несообразность. Порядок, в котором мы будем приводить эти парадоксы, будет определяться научной областью, к которой они принадлежат, и их большей или меньшей важностью.
          Первая и самая обширная наука, в области которой мы встречаем парадоксы бесконечного, это, как нам показали уже некоторые примеры, есть общее учение о величинах, где нет недостатка в парадоксах даже в учении о числах. С них мы и начнем.
          Уже само понятие исчисления бесконечности, я признаю это, кажется заключающим в себе противоречие. Действительно, исчислить – значит попытаться определить с помощью чисел. Но как же возможно пытаться определить с помощью чисел бесконечное, то бесконечное, которое, по нашему собственному определению, должно представлять из себя нечто, состоящее из бесконечно многих частей, т.е. такое многообразие, которое больше всякого числа, и которое, поэтому, не может быть определено никаким числом? Это сомнение исчезнет однако, как только мы сообразим, что правильное исчисление бесконечного имеет целью не вычисление того, что в бесконечности неопределимо никаким числом (а именно, не вычисление бесконечного множества самого в себе): целью этого исчисления является определение отношения между одним бесконечным и другим, что выполнимо в известных случаях, как мы это покажем на многих примерах.

§ 29.

Кто признает существование бесконечных множеств, а следовательно, и бесконечных величин вообще, тот не станет оспаривать существование бесконечных величин, очень различных по размерам. Если мы изобразим, например, ряд натуральных чисел таким образом:

1, 2, 3, 4, . . . . . n, n+1, . . . in inf.,
то изображение

1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + n + (n + 1) + . . . . in inf.,
будет представлять сумму этих натуральных чисел; следующее же изображение

1⁰ + 2⁰ + 3⁰ + 4⁰ + . . . . + n⁰ + (n + 1)⁰ + . . . . in inf.,
в котором отдельные слагаемые 1⁰, 2⁰, 3⁰ . . . суть простые единицы, представляет просто количество или число всех натуральных чисел. Если мы обозначим его через N⁽⁰⁾, составив таким образом чисто символическое равенство

1⁰ +2⁰ + 3⁰ + 4⁰ + . . . . + n⁰ + (n+1)⁰ +. . .in inf. = N⁽⁰⁾ . . (1), и обозначим подобным же образом количество натуральных чисел от (n+1) через N⁽ⁿ⁾, составив таким образом равенство

(n+1)⁰ + (n+2)⁰ + (n+3)⁰ +.. . .in inf. = N⁽ⁿ⁾ . . (2),
то мы получим, при посредстве отнимания, совершенно безупречное равенство

1⁰ +2⁰ + 3⁰ + 4⁰ + . . . . + n⁰ = N⁽⁰⁾ – N⁽ⁿ⁾ . . . (3),
из которого мы видим, как иногда две бесконечные величины N⁽⁰⁾ и N⁽ⁿ⁾ имеют совершенно определенную конечную разность.
00118Если же мы обозначим величину, которая представляет сумму всех натуральных чисел, через S⁽⁰⁾ или составим просто символическое равенство

1 + 2 + 3 + 4 + . . . . + n + (n + 1) + . . . . in inf. = S⁽⁰⁾ . . . (4),
то мы тотчас же поймем, что S⁽⁰⁾ должно быть много больше, чем N⁽⁰⁾; но не так легко удается точно определить разность между этими двумя бесконечными величинами или их (геометрическое) отношение друг к другу. Действительно, если мы составим, как это делали некоторые, равенство

S⁽⁰⁾ = N⁽⁰⁾ ^. ( N⁽⁰⁾ + 1)/2
то для оправдания его вряд ли нашлось бы у нас другое основание, кроме того, что при каждом конечном числе членов справедливо равенство

1 + 2 + 3 + . . . + n = n ^. (n +1)/2
откуда, по-видимому, следует, что, в случае бесконечного количества чисел, n переходит только в N⁽⁰⁾. Однако, на самом деле, это не так, потому что было бы бессмысленно, в случае бесконечного ряда, говорить о его последнем члене, имеющем значение N⁽⁰⁾.
00119Положив же в основание символическое равенство (4), последовательным умножением обеих его частей на N⁽⁰⁾, можно конечно вывести следующие равенства:

1⁰ ^. N⁽⁰⁾ + 2⁰ ^. N⁽⁰⁾ + 3⁰ ^. N⁽⁰⁾ + 4⁰ ^. N⁽⁰⁾ + .. . . in inf. = ( N⁽⁰⁾)²,

1⁰ ^. ( N⁽⁰⁾)²+ 2⁰ ^. ( N⁽⁰⁾)²+ 3⁰ ^. ( N⁽⁰⁾)²+ 4⁰ ^. ( N⁽⁰⁾)²+ .. . . in inf. = ( N⁽⁰⁾)³ и т.д.
Из этого мы видим, что существуют бесконечные величины так называемых высших порядков, из которых одна превосходит другую в бесконечное число раз. Существование бесконечных величин, имеющих рациональное, также как и иррациональное отношение α:β, вытекает уже из того, что, поскольку N⁽⁰⁾ означает неизменную бесконечную величину, постольку α ^. N⁽⁰⁾ и β ^. N⁽⁰⁾ представляют пару бесконечных величин, находящихся в отношении α:β.
00120Не менее ясным окажется и то, что все многообразие (множество) величин, находящихся между двумя данными, например, между 7 и 8, хотя оно и бесконечно и не может быть вследствие этого определено никаким числом, как бы велико последнее ни было, зависит однако единственно от величины разстояния этих двух крайних величин, т.е. зависит от величины 8 – 7 и должно быть вследствие этого одинаковым, как только это разстояние одинаково. В этом предположении, если обозначить количество всех величин, лежащих между a и b через

Mult ^. (b – a),
то получатся бесчисленные равенства следующего вида:

Mult ^. (8 – 7) = Mult ^. (13 – 12),
а также и следующего:

Mult ^. (b – a): Mult ^. (d – c) = b – a : d – c,
против правильности которых нельзя возразить ничего основательного.

§ 30.

Эти немногие примеры показали уже в достаточной степени, что существует исчисление бесконечно большого; точно также существует и исчисление бесконечно малого. В самом деле, если N⁽⁰⁾ представляет величину бесконечно большую, то

1/ (N⁽⁰⁾)

будет, бесспорно, представлять величину бесконечно малую, и не будет никакого основания к тому, чтобы считать подобное представление беспредметным, по крайней мере в общем учении о величинах. Возьмем один только пример. Пусть будет поставлен следующий вопрос: если кто-нибудь стреляет наудачу, то какова вероятность, чтобы центр пули на пути своем прошел точно через центр того яблока, которое висит на этом дереве. Каждый должен признать, что многообразие всех возможных здесь случаев, отвечающих подобной или еще меньшей вероятности будет бесконечно, откуда следует, что степень этой вероятности имеет величину, которая = или <

.Этим уже доказано существование бесконечного количества бесконечно малых величин, взаимные отношения которых могут быть какие угодно, а именно: одна бесконечно малая величина может быть больше другой бесконечно малой величины в бесконечно большее число раз. Поэтому, как между бесконечно большими, так и между бесконечно малыми величинами, существует бесконечно много порядков, и, при соблюдении известных правил, будет, конечно, возможно найти некоторые правильные равенства между величинами этого рода.
Пусть будет, например, установлено, что значение, переменной величины y зависит от другой величины x таким образом, что между ними всегда имеет место уравнение:

y = x⁴ + ax³ + bx² + cx +d.
Если природе того особенного рода величин, которые обозначены здесь через x и y не противоречит то обстоятельство, что они могут сделаться бесконечно малыми и получат, следовательно, бесконечно малые приращения, то увеличив x на бесконечно малую часть, которую мы обозначим через dx, и обозначив через dy изменение, которое получает вследствие этого y, мы поймем, что в таком случае необходимо будет иметь место следующее равенство:

y + dy = (x + dx)⁴ + a(x + dx)³ + b(x + dx)² + c(x + dx) + d,
из которого бесспорно вытекает равенство:

dy/dx = (4x³ + 3ax² + 2bx + c) + (6x² + 3ax + b)dx +
+ (4x +a)dx² + dx³,
которое представляет отношение обеих бесконечно малых величин в зависимости не только от a, b, c и x, но также от значения переменной dx.

Примечания
⁴) “Versuch einer objectiven Begrundung der Lehre von der Zusamesetzung der Krafte”. (Prag 1842. In Commission bei Kronberger & Rziwnas). назад к тексту4

⁵) “Versuch einer objectiven Begrundung der Lehre von der drei Dimensionen des Raumes”. (Prag 1843. In Commission bei Kronberger und Rziwnas). назад к тексту5