Бернард Больцано, ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОГО

Б. Больцано, Парадоксы бесконечного, параграфы 61-70

§ 61.

Несмотря на легкость, с которой из простых понятий выводится учение о господствующих субстанциях, установленное уже в первом издании Athanasia (1829), в этом учении найдутся, однако, также парадоксы; поэтому является необходимым упомянуть здесь о них в нескольких словах.
А именно: я исхожу (l.c.) из мысли, что, так как между двумя субстанциями во вселенной во всякое время, как известно должна существовать некоторая разница конечной величины, то во всякое время существуют субстанции, силы которых возросли уже настолько, что они приобретают некоторое превосходство над всеми, лежащими вокруг них субстанциями, хотя бы в сколь угодно малой окрестности. – Было бы ошибкой, и притом ошибкой набрасывающей на это предположение подозрение во внутреннем противоречии, вообразить, что такая господствующая субстанция должна обладать силами, бесконечно превосходящими силы подчиненных субстанций. Но это ни в каком случае не верно. В самом деле, допустим что в пространстве конечной величины, например, в шаре (положим, в его центре), находится субстанция, силы которой превосходят силы каждой из простых субстанций в конечное число раз; например, пусть каждая из прочих субстанций будет вдвое слабее ее. Конечно, невозможно сомневаться в том, что совокупное действие этих бесконечно многих, более слабых субстанций, в случае, когда они объединяются в своей деятельности (как это, например, бывает при их стремлении приблизиться к некоторому центральному телу, – о чем мы будем вскоре говорить), превзойдет в бесконечное число раз действие более сильной субстанции. Однако, могут и должны быть и другие случаи, когда эти силы не направлены к одной и той же цели. А именно, если обратить теперь внимание только на то действие, которое оказывает каждая из субстанций, находящихся в пространстве, на всякую другую, и на то, которое она взаимно испытывает, – то следует сказать, что обыкновенно это взаимодействие окажется более сильным у сильнейшей субстанции именно в отношении, соответствующем ее силе. В нашем примере, следовательно, та субстанция, которую мы предполагаем, по крайней мере, вдвое более сильной, чем каждую из соседних, будет действовать на каждую из них, по крайней мере, вдвое сильнее, чем те на нее. Это именно мы и имеем в виду, когда говорим что она господствует над другими.

§ 62.

Нам могут, однако, возразить, что если это верно, то не только в некоторых пространствах, а в каждом, даже сколь угодно малом пространстве, даже в любой совокупности атомов должен находиться господствующий атом, так как в каждой совокупности многих атомов должен быть, как самый сильный, так и самый слабый. Я надеюсь, однако, что никто из моих читателей не нуждается в указании, что только для конечных множеств это должно быть всегда верно; там же, где имеется бесконечное множество, для каждого члена может существовать больший (или меньший), несмотря на то, что ни один из них не превосходит (или не меньше) некоторой конечной величины.

§ 63.

Эти господствующие субстанции, уже по самому понятию о них, являются в каждом конечном пространстве только в конечном количестве, при чем каждая из них окружена большей или меньшей оболочкой подчиненных субстанций. Соединившись в группы конечной величины, эти господствующие субстанции и образуют то, что мы называем разнообразными, встречающимися в мире телами (газообразными, капельножидкими, твердыми,, органическими и т.д.). В противоположность им, я называю эфиром всю остальную мировую материю, которая, не имеет особенных атомов, наполняет все остальное пространство и соединяет, следовательно, все тела вселенной. Здесь не место излагать, как некоторые явления, до сих пор лишь несовершенно объясненные или вовсе не нашедшие себе объяснения, объясняются с величайшей легкостью на основании этого предположения (если угодно смотреть на него, только как на предположение). Сообразно с целью этой работы, я должен себе позволить лишь несколько указаний, которые выясняют кажущиеся противоречия.
Если все созданные субстанции различаются между собою только степенью своих сил; если поэтому для каждой из них нужно допустить некоторую, хотя бы самую малую степень чувствования и если все они влияют одна на другую, – то нет ничего понятнее, чем то, что для каждых двух каких бы то ни было субстанций, а тем более для двух особенных субстанций, не всякое расстояние является одинаково приятным (одинаково полезным для них), так как от величины расстояний зависит и сила влияния, которое они оказывают, а также и сила того влияния которому они подвержены. Если разстояние, в котором они находятся, больше, чем это является приятным для одной из субстанций, то в ней проявится стремление сократить это разстояние, т. е. проявится так называемое притяжение, в противоположном же случае проявится отталкивание. Ни то, ни другое не должны мы представлять себе непременно взаимным; и еще менее должны мы думать, что действие сопровождается всегда действительным перемещением; но мы можем принять, как достоверное, то, что для каждых двух субстанций во вселенной существует расстояние, достаточно большое для того, чтобы для него и для всех больших расстояний имело место взаимное притяжение, и что точно также существует расстояние, достаточно малое для того, чтобы для него и для всех меньших расстояний имело место взаимное отталкивание. Но как бы сильно с течением времени ни изменялась величина этих двух расстояний, которые составляют границы притяжения и отталкивания двух субстанций, не только вследствие свойств этих субстанций, но также и вследствие свойств смежных с ними субстанций, лежащих в их окрестности, – остается бесспорным то, что влияние, которое оказывают две субстанции одна на другую, при условии сходства прочих обстоятельств, должно уменьшаться с увеличением расстояния между ними, хотя бы уже по той причине, что множество тех субстанций, которые могли бы находиться в равном расстоянии и претендовать на одинаковое действие, увеличивается, как квадрат расстояния. Далее, так как перевес, который имеет каждая особенная субстанция над каждой подчиненной, достигает всегда только конечной величины, между тем как количество последних субстанций превосходит в каждом пространстве количество первых в бесконечное число раз, то понятно, что сила притяжения, которую оказывают все субстанции, находящиеся в данном пространстве, на один атом, вне лежащий, когда его расстояние достигло достаточной величины, будет приблизительно такая же, какая проявлялась бы, когда пространство не заключало бы никаких особенных субстанции, а только содержало бы то же самое множество простых атомов. Если связать это с предыдущим, то получится важное заключение, что между всеми телами, расстояния которых друг от друга имеют достаточную величину, существует сила притяжения, находящаяся в прямом отношении к сумме их масс (т. е. множеству их атомов), и обратном к квадрату их расстояния. Ни один физик и ни один астроном, не отрицает в наше время, что этот закон наблюдается во всей вселенной, но, по-видимому, до сих пор редко обращали внимание на то, как трудно он согласуется с обыкновенным взглядом на свойства элементарных частей различных тел Если бы дело обстояло так, как его себе обыкновенно представляли, т.е. так, что те 55 и более простых тел, с которыми познакомились наши химики на земле, образуют массу всех встречающихся здесь тел, при чем каждое из них представляет лишь совокупность атомов одного или другого, или нескольких из этих простых тел (так что, например, золото – просто совокупность одних атомов золота, сера—совокупность одних атомов серы и т. д.), – если бы это было так, то пусть кто может объяснит мне, каким образом вещества столь различные по своим силам, а именно по степени своего притяжения, несмотря на это, по весу друг другу вообще равны, т.е. что их веса относятся, как их массы. Справедливость же последнего утверждения доказывается непосредственно известным опытом, что шары из любого вещества, если только они будут равны по весу, сталкиваясь друг с другом, обнаруживают при ударе такие же свойства, как тела одинаковой массы, так что, например, при одинаковой скорости (насколько устранено действие упругости или насколько оно принято в расчет) они приводят друг друга в состояние покоя. Если же мы предположим, что все тела состоят собственно только из бесконечного количества эфира, в котором находится совершенно исчезающее в сравнении с этим множеством число особенных атомов, силы которых превосходят только в конечное число раз силы атома эфира, то станет понятным, что сила притяжения, которую испытывают эти тела от всего земного шара, не может быть ни в каком случае заметно повышена малым числом особенных атомов и что, следовательно, вес их должен быть пропорционален лишь всей их массе. Однако, и теперь найдется не мало физиков, рассматривающих тепловую материю (т.е. собственно, то самое вещество, которое я отождествляю с эфиром), как жидкость, которая находится во всех телах и никогда не может быть вполне удалена из них. Следовательно, если бы они не составили себе, к несчастью, представления, что эта тепловая материя невесома, и если бы они возвысились до взгляда, что множество атомов, находящихся в каждом отдельном теле вместе с теплотой, в сравнении с последней, является количеством исчезающим (а как близки они были к этой мысли, представляя себе иногда атомы отделенными друг от друга расстояниями, бесконечно большими по сравнению с их диаметрами), то им вскоре стало бы совершенно ясно, что эта их теплота и есть то, что определяет вес всех тел.

§ 64.

Легко понять, что господство особенной субстанции над ближайшею областью состоит, если не в чем-либо другом, то, по крайней мере, в известном более сильном притяжении соседних атомов, вследствие чего эти последние сближаются друг с другом и с этой субстанцией плотнее, чем это имело бы место без такого притяжения; по этой причине они имеют стремление при удобном случае удалиться опять, как от этого центра притяжения, так и друг от друга, т. е. стремление отталкиваться. На это указывают многие опыты, для объяснения которых, однако, совершенно напрасно предполагали существование первоначальной силы взаимного отталкивания частиц эфира.

§ 65.

Из этого обстоятельства вытекает легкое доказательство того предложения, которое я установить уже в Athanasia, что ни одна особенная субстанция не испытывает в своей оболочке такого изменения, при котором она не удерживала бы известной, хотя бы самой малой части своей ближайшей окрестности. Конечно, никто не подумает, что некоторая особенная субстанция a лишится ближайших к ней эфирных атомов, если ни одна из всех окружающих ее соседних особенных субстанций b, c, d, e. . . не изменяет своего расстояния от a. Можно было бы ожидать этого лишь в том случае, если бы некоторые из них, или все удалились. Однако, если даже это случится, то только часть частиц эфира, окружающих a, последует за удаляющимися субстанциями b, c, d, e. . . ; другая же часть их, а именно часть тех, которые находятся ближе всего к a, должна всегда оставаться, хотя мы не только признаем, но даже утверждаем, как необходимое, что эта часть займет большее пространство. Смотря по обстоятельствам, эфирные частицы могут притекать даже из известных отдаленных областей и проникать в те места, которые наполнены эфиром, сравнительно более разреженным, вследствие слишком больших расстояний, на которые раздвинулись субстанции b, c, d, e. . . Но нет никакого основания к тому, чтобы этот эфир, притекающий издалека, стал отталкивать эфир, окружающий субстанцию a, и занимать его место. Притекающий эфир, вместо того, чтобы вытеснить эфир, окружающий субстанцию a, должен только препятствовать его дальнейшему расширению и сжимать его до тех пор, пока плотность его не уравновесит притягательных сил всех окружающих атомов.

§ 66.

Вслед за этим могут быть разрешены некоторые прежние вопросы; ответы на них могли бы показаться парадоксальными, если бы они не нашли себе объяснения в предыдущем. К этому роду вопросов относится вопрос о границах тела: где, собственно, кончается одно тело и начинается другое? Под границей тела я разумею совокупность тех самых крайних атомов эфира, которые еще принадлежат телу, т.е. таких атомов, которые сильнее притягиваются особенными его атомами, чем другими, находящимися по близости, господствующими атомами, так что, при изменении положения тела относительно окружающей среды (например, удалении от нее), внешние частицы эфира, составляющие его границу, удалятся вместе с ним, если и не с той же скоростью, то все же так, что не наступит ни разделения, ни вторжения посторонних атомов. Если мы примем это определение понятия о границе, то окажется тотчас же, что граница тела представляет нечто очень изменчивое. Она изменяется даже почти постоянно, как только произойдет какое-нибудь изменение в самом теле или в соседних телах. Понятно, что все подобные изменения могут произвести много изменений, как в силе, так и в направлении притяжения, которое испытывают не только подчиненные, но и господствующие атомы. Так например многие частицы этого пера, которые еще незадолго перед этим сильнее притягивались его массой, чем окружающим воздухом, и потому составляли его часть, теперь притягиваются сильнее моими пальцами, чем массой пера, и потому отрываются от него. – Более точное рассуждение показывает, что некоторые тела на известных местах не имеют вовсе атомов границы, т, е. таких атомов, которые были бы самыми крайними среди атомов, еще принадлежащих к телу и следующих за ним при изменении его положения. В самом деле, всякий раз, когда одно из двух соседних тел имеет в определенном месте самый крайний вместе с ним перемещающийся атом, то другое тело, по этому самому, уже не будет иметь подобного крайнего атома, так как все атомы, находящиеся за этим крайним, уже составляют принадлежность другого тела.

§ 67.

Таким же образом получается ответ на вопрос, находятся ли тела в непосредственном соприкосновении друг с другом или отделены некоторым промежутком, и когда имеет место то или другое. Если я позволю себе предложить определение (которое мне кажется самым целесообразным – что два тела соприкасаются друг с другом, если самые крайние атомы, которые принадлежат одному из них, на основании объяснения в предыдущем параграфе, составляют непрерывное протяжение с некоторыми атомами другого, то, конечно, невозможно будет отрицать что существует много тел, соприкасающихся между собою не только тогда, когда одно из них или оба жидкие, но и тогда, когда они твердые, – если только сначала сильным сжатием или другим каким-либо способом будет удален воздух, прилегающий к ним в обыкновенном их состоянии на земле. Если два тела не касаются друг друга, то промежуток между ними должен быть наполнен каким-нибудь другим телом или, по крайней мере, эфиром, потому что совершенно пустого пространства не бывает. Поэтому можно утверждать, что каждое тело находится со всех сторон в соприкосновении с некоторыми другими телами или, в случае отсутствия тел, с чистым эфиром.

§ 68.

Что касается различных видов происходящих во вселенной движений, то, в виду того обстоятельства, что (по нашему воззрению) никакая часть пространства не бывает пустой, можно было бы думать, что возможно только такое движение, при котором вся одновременно движущаяся масса образует цельное замкнутое протяжение, где каждая часть всей массы занимает только те места, которые непосредственно перед тем занимала другая часть массы. Но кто помнит то, что было сказано в §59 о различных степенях плотности, присущих субстанциям, наполняющим пространство, тот поймет, что могут и должны существовать еще многие другие движения. Особенно одно движение, – колебательное, должно встречаться почти всегда не только у всех эфирных атомов, но также почти у всех особенных атомов по причине, которая столь очевидна, что я и не стану приводить ее. После колебательного, наиболее часто встречающимся и очень обыкновенным должно быть вращательное движение, особенно у твердых тел. Как следует представлять себе это движение и как при допущении материальной оси вращения (что, по нашему мнению, всегда должно быть) следует объяснять то обстоятельство, что те же самые атомы, которые теперь находятся по ту ее сторону, через пол-оборота, не отделившись, окажутся на противоположной ее стороне, – все это может ввести в затруднение только того, кто забывает, что в континууме, также, как и вне его, каждый атом находится в известном расстоянии от другого и, следовательно, может обращаться около него, не отрываясь и не заставляя его поворачиваться; это последнее, т.е. вращение вокруг самого себя для простого протяжения представляло бы нечто, содержащее противоречие.

§ 69.

          Не желая утверждать, чтобы хотя один господствующий или подчиненный атом во вселенной в какое-либо время описывал совершенную прямую линию или совершенную окружность круга (что представлять крайне малую, бесконечно малую вероятность при бесконечном множестве нарушений, которые испытывает каждый атом от действия всех остальных атомов), – тем не менее, мы не имеем права считать, что подобные движения невозможны сами по себе. Мы можем, однако, утверждать, что движение по ломаной линии, например, только тогда может осуществиться, когда скорость атома к концу части ab постепенно так уменьшится, что в точке b сделается нулем. Если движение после этого не должно быть прервано конечным промежутком покоя, то в каждое мгновение, следующее за прибытием в b, должна оказаться опять некоторая (возрастающая от нуля) скорость.
          Не так обстоит дело с некоторыми другими линиями, как, например, с логарифмической спиралью. Независимо от всех внешних нарушений, противоречивым представляется уже то, что атом описывает в конечное время хотя бы ту ветвь этой линии, которая, начинаясь в какой-нибудь ее точке, направляется к центру. Еще несообразнее требовать, чтобы атом, описывающий эту ветвь, достиг, наконец, центра спирали. Чтобы доказать это только для того случая, когда атом описывает свой путь равномерно, вообразим себе сначала, что он движется один. В таком случае, сейчас же оказывается, что его движение по спирали можно рассматривать, как составленное из двух движений: одного равномерного по лучу в направлении к центру, и другого углового вращения вокруг этого центра; скорость этого вращения, возрастая равномерно, должна сделаться больше всякой конечной величины, как скоро атом подойдет к центру сколь угодно близко. Конечно, нет такой силы в природе, которая могла бы сообщить ему эту скорость; тем более нет такой силы, которая бы могла сообщить целой массе атомов, простирающихся в пространстве трех измерений, такую скорость, какая нужна для того, чтобы рассматриваемый атом мог в конечное время пробежать бесконечное множество оборотов спирали до центра. Но если бы атом даже имел такую скорость, то возможно ли было бы сказать о нем, что он достигнет центра? Я, по крайней мере, не думаю этого. В самом деле, хотя можно сказать, что этот центр составляют континуум с точками спирали (которые, бесспорно принадлежать ей), потому что среди них найдется соседняя с центром на каждом, сколь угодно малом, расстоянии, – тем не менее, этому линейному протяжению недостает еще второго свойства, необходимого для того, чтобы оно могло быть описано движением атома, а именно, чтобы оно имело одно или несколько определенных направлений в каждой своей точке. Этого, как известно, нет в центре.
          Сюда относится, наконец, еще один любопытный вопрос: возможно ли при наших воззрениях на бесконечность вселенной движение целой вселенной в определенном направлении или вращательное движение ее вокруг мировой оси или мирового центра? Мы ответим на это, что следует признать невозможным как одно, так и другое движение не потому, что невозможно найти для каждого атома место, которое он мог бы занять, но нужно признать эти движения невозможными потому, что не существует причин (сил), которые могли бы вызвать подобное движение. В самом деле, нельзя придумать причины, которая сделала бы возможным этого рода движения— ни физической причины, или распорядка, который являлся бы просто необходимым (т, е. представлял бы только следствие чисто теоретических истин, касающихся понятий), ни нравственной причины, или распорядка, который являлся бы только условно необходимым (т.е. такой распорядок, который мы встречаем в мире только потому, что Бог осуществляет всякое событие, направленное ко благу его творений).

§ 70.

Заключим эти рассуждения двумя парадоксами, которые сделались особенно знаменитыми благодаря Эйлеру. Уже Боскович (Boscowich) обратил внимание на то обстоятельство, что на один и тот же вопрос, а именно, как движется атом a, если он притягивается силой, находящейся в c в обратном отношении квадрату расстояния, получаются различные ответы. Различие это зависит от того, рассматривают ли этот случай, как такой, в который постепенно переходит эллиптическое движение, когда скорость вержения убывает до нуля, или же, когда, независимо от этой фикции, рассматривают вопрос сам по себе. Если бы атом a, вследствие вержения или по другой какой-нибудь причин, в начале своего движения получил боковую скорость, перпендикулярную к ac, то (отвлекаясь от всякого сопротивления среды) он должен был бы описать эллипс, фокус которого находится в c. Если эта боковая скорость уменьшается бесконечно, то и меньшая ось этого эллипса тоже уменьшается бесконечно. Отсюда Эйлер и вывел заключение, что в случае, когда атом не имеет никакой скорости в точке a, должно наступить колебание его между точками a и c; при этом он полагает, что только это движение и есть то, в которое переходит эллиптическое движение без нарушения закона непрерывности. Напротив того, другие, особенно Буссе (Busse), находили несообразным, чтобы атом, скорость которого в направлении ac при приближении к точке c

должна возрастать бесконечно, останавливался здесь без всякой видимой причины (присутствие, например, постоянного и непроницаемого атома, которое бы составляло препятствие к прохождению через это место, не предполагалось вовсе) и устремлялся бы в противоположном направлении. Они утверждали поэтому, что он должен, напротив того, продолжать свое движение в направлении ac за точку c но уже с убывающей скоростью, пока не достигнет конца отрезка cb = ca, затем, подобным же образом, он должен вернуться от b опять к a, и так далее, без конца. По моему мнению, ссылка Эйлера на закон непрерывности здесь еще ничего не разрешает. В самом деле, явление, о котором здесь спорят, будет ли колебание атома происходить внутри границ a и b или внутри a и c, – одинаково мало находится в противоречии с тем родом непрерывности, который действительно, как это можно доказать, управляет изменениями вселенной (возрастанием и убыванием сил отдельных субстанций). Однако же, впадают в противоречие с этим законом самым непозволительным образом уже вследствие того, что предполагают здесь силу, а именно силу притяжения, возрастающею бесконечно. Нельзя поэтому удивляться, если из противоречивых посылок вытекают противоречивые заключения. Отсюда, однако, видно, что не только Эйлер, но и Буссе неправильно отвечают на вопрос, так как они предполагают нечто такое, что само по себе невозможно, а именно бесконечно большую скорость в точке c. Если исправить эту ошибку, если предположить, следовательно, что скорость, с которой движется атом, изменяется по такому закону, при котором она остается постоянно конечной; если принять, наконец, в соображение, что невозможно говорить о движении отдельного атома, не предположивши среды, в которой он движется, и большего или меньшего количества атомов, движущихся вместе с ним, то получится совершенно иной результат, подробным описанием которого нам нет надобности здесь заниматься.
Второй парадокс, который мы изложим здесь лишь в немногих словах, касается движения маятника и состоит в. том, что половина времени качания простого маятника, длина которого = r, на протяжении бесконечно малой дуги по вычислению оказывается, как известно, равной (^π/₂) • ||/ r/g , между тем как время падения по хорде этой дуги, которую по длине считали обыкновенно равною дуге, оказывается равным ||/ 2 • ||/ r/g . То обстоятельство, что Эйлер видел в этом парадокс, основывается единственно на его неправильном представлении о бесконечно малом, которое он себе представлял равнозначным нулю. На самом же деле не может быть бесконечно малых дуг, также как и хорд; а то, что утверждают математики о своих так называемых бесконечно малых дугах и хордах, было ими доказано, собственно, только для дуг и хорд, которые могут быть взяты сколько угодно малыми. Вышеприведенные два равенства, если понять их правильно, не могут иметь никакого другого значения, кроме следующего: половина времени качания маятника подходит сколь угодно близко к величине (^π/₂) • ||/ r/g , если взять дугу, по которой происходит качание, сколь угодно малой; время же падения по хорде этой дуги подходит сколь угодно близко, при тех же обстоятельствах, к величине ||/ 2 • ||/ r/g . Что эти две величины различны, что, следовательно, дуга и ее хорда, как бы они ни были малы, различны в отношении упомянутого времени падения, – в этом столь же мало странного, как и во многих других различиях между ними, исчезновения которых, пока дуга и ее хорда существуют, никто и не станет ожидать. Примером подобного различия может служить то, что дуга сохраняет всегда кривизну, а именно такую, величину которой мы можем измерить посредством ¹/_r , между тем как хорда всегда остается прямой, т е. не имеет никакой кривизны.